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Integración Numérica - Métodos del Trapezoide y Simpson
En esta lección comenzamos el estudio de métodos numéricos para el cálculo numérico de integrales de la forma
[pic]
Un método común para aproximar I(f) es reemplazando f(x) con un polinomio de interpolación. Este procedimiento se conoce como las reglas de Cuadratura de Newton. Examinamos los primeros dos casos de este método donde se usanpolinomios de interpolación lineales y cuadráticos.
Método del trapezoide: Sea p1(x) el polinomio lineal que interpola a f(x) en x=a y x=b, i.e.,
[pic]
Usando la fórmula para el área de un trapezoide o integrando p1(x) directamente se obtiene que
[pic]
Asi que podemos escribir la aproximación:
[pic](*)
Más adelante analizamos en detalles el error en esta aproximación. Por el momento bastaobservar que la aproximación es buena siempre que f sea aproximadamente lineal. En el caso general, dividimos el intervalo [a,b] en subintervalos más pequeños y aplicamos la fórmula anterior en cada subintervalo. Si los subintervalos son suficientemente pequeños, entonces f es aproximadamente lineal en cada subintervalo y la aproximación es buena. Definimos el largo de los subintervalos por:[pic]
El j-esimo subintervalo esta dado por [xj-1,xj] donde
[pic]
Podemos escribir ahora que:
[pic]
Usando la aproximación (*) podemos escribir
[pic]
Usando esto en la fórmula anterior, obtenemos que
[pic]
Esto se conoce como la regla (compuesta) del trapezoide para aproximar I(f).
Ejemplo 1: Usando la regla del trapezoide con n=2 y n=4 aproximamos:
[pic]
cuyo valor exacto es [pic]correctoal número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora
[pic]
Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que
[pic]
Estos cálculos los podemos realizar también utilizando la función trapz de MATLAB. En el siguiente programa no solo calculamos los dos resultados de arriba sino que generamos una tabla de errores (exactos)para varios valores de n aprovechando que en este ejemplo tenemos el valor exacto del integral:
iexacto=log(2);
n=2;
error1=0;
for i=1:10
x=linspace(1,2,n+1);
y=1./x;
iaprox=trapz(x,y);
error=iexacto-iaprox;
ratio=error1/error;
disp(['n=' num2str(n) ', iaprox=' num2str(iaprox,6) ',error=' num2str(error,6) ',ratio=' num2str(ratio,6)])
n=2*n;
error1=error;
end
Los resultados fueron comosigue:
|n |Tn(f) |en=I(f)- Tn(f) |en/ e2n |
|2 |0.708333 |-0.0151862 |----- |
|4 |0.697024 |-0.00387663 |3.91736 |
|8 |0.694122 |-0.00097467 |3.97738 |
|16 |0.693391 |-0.000244022 |3.99419|
|32 |0.693208 |-0.0000610277 |3.99854 |
|64 |0.693162 |-0.0000152583 |3.99963 |
|128 |0.693151 |-3.81467e-006 |3.99991 |
|256 |0.693148 |-9.53672e-007 |3.99998 |
|512 |0.693147 |-2.38418e-007 |3.99999 ||1024 |0.693147 |-5.96046e-008 |4.00000 |


Estos resultados confirman claramente la convergencia del método del trapezoide en este ejemplo particular. Podemos ver que cada ves que se duplica la n, lo cual equivale a dividir la h entre dos, el error disminuye por un factor de cuatro aproximadamente (última columna de la tabla) esto es característico deconvergencia O(h2) lo cual confirmaremos teóricamente más adelante.
Regla de Simpson: Utilizamos ahora un polinomio de interpolación cuadrático. Sea p2(x) el polinomio de grado (a lo más) dos que interpola a f(x) en x=a, x=(a+b)/2, x=b. Este polinomio se puede escribir como:
[pic]
Tenemos ahora que
[pic]
Pero con h=(b-a)/2 y u=x-a tenemos que
[pic]
En forma similar se obtiene que
[pic]
Tenemos...
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