Cinematica de cuerpo rigido en el espacio

En este capitulo haremos mas énfasis en los aspectos
del movimiento del cuerpo rígido, ya que se sigue
cumpliendo la ley :



F  maG

I XX   (Y 2  Z 2 )dm, IYY   ( X 2  Z 2 )dm, I
I XX  I XX  m.(YG  Z G )

I XY  I XY  m. X GYG

I YY  I YY  m.( X G  Z G )

I YZ  I YZ  m.YG Z G

I ZZ  I ZZ  m.( X G  YG )

I XZ  I XZ  m. X G Z G

2
2

2

2
2

2TENSOR DE INERCIA

I

ZZ

  ( X 2  Y 2 )dm

Sea:

2
2
I aa  I xx  x  I yy  y  I zz  z2  2I xy  x  y  2I yz  y  z  2I zx  z  y







  Cosi  Cosj  Cosk   X i   y j  Z k

Sean I1, I2, I3 los momentos principales de
inercia, y se presenta el tensor de Inercia
diagonalizado donde:

Ixy = Iyz = Izx = 0

I=

 I1 O O 
O
O
I2

O O I 3 



  cos    x

m  cos    y
n  cos    z

DE:

I xx  I Wx  I xyWy  I xzWz  0

 I zxWx  I yy  I  y  I yzWz  0
W
 I zxWx  I zyWy  I zz  I Wz  0

De la cual se
principales

calcula los momentos
Cálculos de los Cosenos, directores de los
ejes :
Principales:

I1, I2 I3

I xx  I   I xy  I xz 


 I yz I yy  I  I xz   0
  I  I I  I  
zx
zy
zz



, m, n
Sabiendo:

 2  m2  n 2 
Con:

I xx  I   I xym  I zxn 
 I yx I yy  I m  I yzn
I zx  I zym I zz  I n

Tomándolo como un medio discreto de
particulas de forma esferica

1)




H A   A xmii

2)

n




i   A  x A



H A   A xmi ( A  x A )



H A   Ami x A   A x( x A )mi
Para todo el cuerpo, sumando todas las particulas esfericas:






H A    Ami x A    A x(x A )mi
n es

contable: medio discreto:

n    mi  dm

Cuando


HA 









(medio continuo)




 A dm x A    A x( wx A )dm




I

Forma ó caso GENERAL
“TRASLACION+
ROTACION”

 A  0  0

ZDE

I

y

ò

Y
z




H 0   0 x( wx0 )dm

X



x



0  0

p
0

  G dm
  G  0   G dm  0
 dm





 A  G



H G   G x( wxG )dm

TRASLACION
+
ROTACION
caso general

De :


HA 


 






dm x A    A x( wx A )dm
A




 A  G  G

A

;

G

A

 cre


 A  A


G



 A G

A


 P G

Luego:





H A   ( G  G A ) x Adm   ( G  G A ) xw xG  G




H A  (  G dm) 0 x A  (   G


  A )  dm
A



  G xwxG dm

 (  G dm) 0 x( w xG A )
md  ) A

G


xw ( x A

G

  )md G 

 w (x

AG













H A  ( G A x A )m  H G G A x  ( w xG A )m





H A  G A x  AwxG A  m  H G



Como:






G   A  wxG A

A





H A  G A xmG  H G

A)Para
cualquiera
cuerpo rígido

del

Sea:




  xi  yj  zk




w  wx I  wy J  w z k


De:


a) O: fijo
H 0    x( w x )dm ) O₌G:
b






H   x   yJ  zK x wx   w y J  wz K   x   yJ  zK  dm






H   x   yJ  zK x zwy  yw z   xw z  zw y J ywx  xw y K dm

Sabemos que:






H O  H O xi  H O yJ  H O ZK

Luego:








2

2
2
2
H   y wx  x y wy  z wx  zxwz   x wy  x y wx  z wy J  x 2 wz  xzwx  yzwy





H x   y 2  z 2 wx dm   wy xydm   xzwz dm





H x wx  y 2  z 2 dm  wy  xydm  wz  xzdm


 

 dm

K

Análogamente:

Reordenando:
También:

H y   I yx wx  I yy wy  I yz wz

H Oy   I xy wx  I yy wy  I yz wz
H Oz   I zx wx  I zy wy  I zz wz

 H ox   I xx  I xy  I xz  Wx 
 
 
 oy    I yx I yy  I yz .Wy 
H o  H
 H   I  I I  W 
 oz   zx zy zz   z 

 

...