Circuito de segundo orden

Circuitos de 2do Orden

Circuitos de 2do orden
• • • • • • • Introducción Encontrando valores iniciales y finales Circuitos RLC Serie sin fuentes Circuito RLC Paralelo sin fuentes Step Response of a Series RLC Circuit Step Response of a Parallel RLC Circuit Circuito General de segundo orden.

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Tema 1 Introduction
• Un circuito de segundo orden es caracterizado por una ecuaciondiferencial de 2do orden. • Un circuito de segundo orden consiste de resistores y equivalente de dos elementos independientes almacenadores de energia. • Para resolver una ecuacion diferencial de segundo orden, Se necesistan dos condiciones inciales el cual se obtiene de las condiciones del mismo circuito.
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Tema 2 Encontrado valores Iniciales y finales
• Algunosvalores iniciales tales como el voltaje a traves de un capacitor y la corriente a traves de un inductor en un circuito de segundo orden pueden ser determinados desde el circuito de analisis considerando que :(1) El capacitor no permite cambios bruscos de voltaje en sus terminales(2) El inductor no permite cambios bruscos de corriente a traves de el.

vc (0 ) = vc (0 )

+

−

iL (0 + ) = iL(0 − )
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Las derivadas iniciales de voltaje a traves de un capacitor y la corriente a traves de un inductor se determinan de los valores iniciales de voltaje y corriente empleandolas en las caracteristicas v-i tanto del inductor como del capacitor, de la siguiente manera: +

dvc (0 ) + C = ic (0 ) dt + diL (0 ) L = v L (0 + ) dt

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•

Los valores finales de tensión v (∞) y lacorriente i (∞) se determinan a través de análisis de circuitos utilizando las propiedades de estado estacionario bajo estas condiciones recordemos que el condensador se trata como un circuito abierto y el inductor como un corto circuito.

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Ejemplo.1
• El interruptor que se muestra ha estado cerrado durante mucho tiempo. se abre en t = 0. Encontrar :
(a) i (0 + ),v(0 + ), (b) di (0 + )/dt , dv(0 + )/dt , (c) i (∞), v(∞).

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Ejemplo 1
(a) En el estado estacionario de corriente continua, el inductor actúa como un corto circuito y el condensador como un circuito abierto (Fig. (a)).
12 i (0 ) = = 2A, 4+2 i (0 + ) = i (0 − ) = 2 A,
−

v(0 − ) = 2i (0 − ) = 4V v (0 + ) = v (0 − ) = 4 V

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9Ejemplo 1
(b) En t = 0 +, el interruptor está abierto (fig. (b))
iC (0 ) = i (0 ) = 2A dv(0 + ) iC (0 + ) 2 = = = 20V/s dt C 0.1
+ +

− 12 + 4i (0 ) + vL (0 ) + v(0 ) = 0 vL (0 + ) = 12 − 8 − 4 = 0 di (0 ) vL (0 ) 0 = = = 0A/s dt L 0.25
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+

+

+

+

+

Ejemplo 1
c) Para t> 0, el circuito pasa por la transitoriedad. Pero t → ∞, el circuito alcanzael estado estaci onario (Fig. (c)) i (∞ ) = 0A, v(∞) = 12V

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Ejercicio 2 (por el estudiante)
• Calcular :
(a) iL (0 + ), vC (0 + ), vR (0 + ) (b) diL (0 ) / dt , dvC (0 ) / dt (c) iL (∞), vC (∞), vR (∞)
+ +

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Tema 3 : Circuito RLC serie sin fuentes
Condiciones Iniciales:
1 0 v(0) = ∫−∞ idt = V0 C i (0) = I 0

di 1 t Ri+ L + ∫ idt = 0 dt C −∞

d i R di i + + =0 2 dt L dt LC
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• Usando otra variable por ejemplo el voltaje en el capacitor v(t) como variable de analisis, La ecuacion diferencial se convierte en:

dv i=C dt 2 dv d v RC + LC 2 + v = 0 dt dt 2 d v R dv v + + =0 2 dt L dt LC
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• La ecuacion diferencia puede ser escrita por:
d 2i R di i + + =0 2 dt L dt LCd 2i di 2 + 2α + ω0 i = 0 dt 2 dt R α= 2L 1 ω0 = LC
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α: Factor de amortiguamiento o frecuencia neperiana

ω0: Frecuencia no amortiguada
o frecuencia de resonancia

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• La ecuacion caracteristicas y sus raices son dadas como sigue:

s + 2αs + ω = 0
2 2 0

s1, 2

− 2α ± 4α − 4ω = 2
2 2 2 0

2 0

s1, 2 = −α ± α − ω

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