Circulo de mohr

ANEXO A

EL CÍRCULO DE MOHR: APLICACIÓN A SITUACIONES BIDIMENSIONALES

A.1.

DESARROLLO DEL CÍRCULO DE MOHR

Supongamos el sólido de la figura sometido a un estado tensional plano(σz=τzx=τzy=0). Sea P un punto elástico (Punto geométrico más un entorno material de forma paralelepipédica de lados infinitesimales) de su interior. Su estado tensional vendrá definido por las tensiones σx, σy yτxy tal como se representa en la figura.

Figura A.1 El criterio de signos para estas tensiones que se adopta es el siguiente: Tensiones normales: positivas si son de tracción y negativas si fuerande compresión. Tensiones tangenciales:

Figura A.2

Supongamos que deseáramos determinar las tensiones en una dirección cualquiera como la definida en la figura mediante el ángulo θ:

Figura A.3Antes de continuar, conviene dejar claro que, los signos de las tensiones actuantes sobre el plano considerado, son las siguientes: - La tensión normal será positiva si es de tracción - La tensióntangencial es positiva si desde el centro del punto elástico produjera un giro en sentido horario, tal como se indica en la figura siguiente.

Figura A.4
r Las componentes del vector tensión actuanteσ ′ sobre el plano considerado, así como sus componentes normal y tangencial, pueden calcularse como sigue:

Figura A.5 ⎛ σ′ ⎞ ⎛ σ x x ⎜ ⎟ ⎜ = ⎜ ′⎟ ⎜ ⎝ σ y ⎠ ⎝ τ xy ⇓

τ xy ⎞ ⎛ cos θ ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎟⎟⎜ σ y ⎠ ⎝ sen θ ⎠

σ n = σ x cos2 θ + τ xysen2θ + σ y sen2θ ⎫ ⎪ ⎬Ecs.(1) σy σx sen2θ − sen2θ − τ xy cos 2θ ⎪ τ =
2 2 ⎭ Las Ecs. (1) pueden ponerse como:

⎫ σ x + σ y ⎤2 σ x − σ y ⎡ = σn − cos2θ + τxysen2θ ⎪ ⎥ ⎢ 2 2 ⎦ ⎣ ⎬ σx − σy ⎪ τ= sen2θ − τ xy cos2θ ⎭ 2
Operando se obtiene:

(2)

σ x + σ y ⎤2 2 2 ⎡ 1 σn − σ x − σy + τ 2 +τ = xy ⎢ ⎥ 2 4 ⎣ ⎦ 144 2444 4 3 ¡ Independiente de ϑ !

(

)(3) que corresponde a la ecuación de una circunferencia de centro

(σ x + σ y )/2
y radio

(4)

1 (σ − σ )2 + τ 2 xy 4 x y

(5)

respecto a unos ejes en los que en el de abcisas...