Circunferencia, parabola, hiperbola y elipse

CIRCUNFERENCIA.
Es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA.Ecuación en coordenadas cartesianas:

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica,circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,

Se deduce:


Resultando:




Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,
La ecuación de la circunferencia es:


Ecuación en coordenadas polares:

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadaspolares como

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:


Ecuación en coordenadas paramétricas:
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:

y con funciones racionales como


ELIPSE.
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias ados puntos fijos llamados focos es una constante positiva. Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

ECUACION.

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

Donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de laelipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

En coordenadas polares una elipse (centrada en uno de sus focos) viene definidapor la ecuación:


También en coordenadas polares una elipse (con centro en el origen) viene definida por la ecuación:

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) es:

Con , y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar.

La excentricidad de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos),denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con (0 < e < 1)

Dado que , también vale la relación:


o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero

HIPERBOLA.
La Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferenciade distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante.

ECUACION DE LA HIPERBOLA.
Ecuación reducida de la hipérbola:
Si el eje real está en el eje de las abscisas las coordenadas de los focos son:
F'(-c,0) y F(c,0)

Ecuación de la hipérbola con los focos en los ejes 0Y:
Si el eje real está en el eje de las abscisas las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(0, c)REPRESENTACION GRAFICA DE LA HIPERBOLA.
Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.

La ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes:

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje Y.
En este caso: . Luego, ....