Circunferencia

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La Circunferencia y el círculo Potencia de un punto respecto de una circunferencia • Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, trazamos dos rectas secantes a una circunferencia, se cumple que:

PA x PB = PC x PD
A este producto se le llama POTENCIA del punto P respecto de la circunferencia.



Si dos cuerdas se cortan en un punto P, los segmentos que se forman cumplen lasiguiente relación: PA x PB = PC x PD

Ejemplo: Si

PA = 4 cm; AB = 8 cm; PC = 7 cm; Cuánto mide PD ?

PA x PB = PC x PD

4 m 12cm= 7 cm PD
4 cm 12 cm = PD 7cm
PD = 6,85cm

Ejemplo: Si AB = 8cm ; PC = 3cm y PD = 4cm Cuánto mide PB ? Llamemos: PA = x x · (8 – x) = 3 · 4 8x – x2 = 12 x2 – 8x + 12 = 0 (x – 6) (x – 2) = 0 x1 = 6 ^ x2 = 2 Luego: PA = 6cm (o bien PA = 2cm

PB = 8 − x (porque AB =8cm )

PA x PB = PC x PD

PB = 8 − 6 = 2cm PB = 6cm )

Otras propiedades Angulares de la Circunferencia • El ángulo formado por dos cuerdas equivale a la semi-suma de las medidas de los arcos que interceptan. PR + QS α= 2 • El ángulo formado por dos rectas secantes a una circunferencia equivale a la semi-diferencia de los arcos que interceptan.

β=

PR − QS 2

1

Ejercicios dedesarrollo: Encuentra en cada caso la medida del ángulo x. (O es centro de la circunferencia) 1) 2) 3)
60º x

x

30º

O

x

O

O
75º

4)
30º

5)
O
90º

x

6)
110º

O
x

O
x

7)

x

8)
x

9)

O

O
x

O

10)

11)

x 90º

12)
200º

O

x 120º

O

O

x

2

Ejercicios 1. En la circunferencia de centro O y diámetro AC. Si ∠ AOB = 120°,entonces ∠ ACB = ? A) 12,5° B) 25° C) 30° D) 50° E) 60° 2.- En la figura m, es punto medio del arco AB. Entonces, arco Am = ? A) B) C) D) E) 22,7° 54° 127,5° 27° Ninguna de las anteriores

3.- En la figura m, es punto medio del arco AB. Entonces, arco Am=? A) B) C) D) E) 2q 2/3q -90° q 180°-q/2 Ninguna de las anteriores

4.- Dada la siguiente figura, donde O es centro de la circunferencia. ∠x=? A) B) C) D) E) 30° 45° 40° 20° Ninguna de las anteriores

5.- Dada la siguiente figura, donde O es centro de la circunferencia. ∠ x=? A) B) C) D) E) 37,5° 45° 30° 60° Ninguna de las anteriores

3

6.- Arco AC es 1/6 de la circunferencia. B es punto medio de AC. x=? A) B) C) D) E) 120° 12° 60° 30° Ninguna de las anteriores : =2:3.



7.- Arco AC = 30º de la circunferencia. A) B) C) D)E) 8.56° 6° 12° 24° Ninguna de las anteriores

∠ x=?

Dada la siguiente figura, con diámetro AC, ¿cuál es la medida del ∠ x =? A) B) C) D) E) 54° 36° 18° 12° Ninguna de las anteriores

9.- En la figura, O centro de las ⊕ , ¿cuál es la medida del ∠ x=? A) B) C) D) E) 90° 45° 30° 15° Ninguna de las anteriores

10.- En la figura, O centro de la ⊕ , ¿cuál es la medida del ∠ x =? A) B) C) D)E) 160° 150° 154° 172° 162°

4

11.- En la figura. O centro de la ⊕ , ¿cuál es la medida del ∠ x=? A) B) C) D) E) 30° 40° 50° 60° Ninguna de las anteriores

12.- Dada la siguiente figura. O centro de ⊕ . ∠ CPE = 15º. arco AB = arco BC= arco CD = arco DE, , ¿cuál es la medida del ángulo x= ? A) 15° B) 45° C) 30° D) 60° E) Ninguna de las anteriores 13.- En la ⊕ de centro O, arco AB = arco BC =arco CD = arco DE, ¿cuál es la medida del ∠ x? A) 80° B) 50° C) 30° D) 40° E) Ninguna de las anteriores 14.- O centro de la circunferencia. ¿Cuál es la medida del ∠ x? A) 410° B) 260° C) 50° D) 100° E) Ninguna de las anteriores 15.- O centro de la circunferencia. ¿cuál es la medida del ∠ x? A) 10º B) 70° C) 80° D) 90° E) 100° 16.- O centro de la circunferencia. Los arcos AB=BC=CD, ¿cuál es lamedida del ∠ x? A) 2β+90° β B) 180°- β C) β /2 D) β E) Ninguna de las anteriores

O

5

17.- O centro de la circunferencia. ¿Cuál es la medida del ∠ x? A) 360° – α + β B) 2 · (α + β) C) α + b D) 2 α + β/3 E) Ninguna de las anteriores 18.- O centro de la circunferencia. Los arcos PQ=QR=RS. ¿Cuál es la medida del ∠ x? A) 40° B) 60° C) 80° D) 100° E) Ninguna de las anteriores 19.- O centro. MN...
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