Circunferencia

INTRODUCCIÓN

Al observar el borde de la luna o el sol, el hombre tuvo las primeras nociones de circunferencia; cuando corta una naranja o un limón el contorno de la sección plana tiene forma de circunferencia y equidista del centro, esto llevo a conocer las propiedades de ella.
Por historia sabemos que hace más de 2000 años a.d.c se descubrió la rueda. Los egipcios, aprovechando que susterrenos eran llanos, desplazaban las rocas para sus construcciones usando troncos de árboles que luego hacían rodar. Posiblemente, este fenómeno de rodadura inspiró al hombre a crear la rueda.
En la actualidad, sabemos que la rueda es un objeto muy importante para el transporte terrestre, de ahí la necesidad del estudio de la circunferencia. Obviamente, sus propiedades también servirán paraestudiar otras figuras, tales como los polígonos regulares.
Haciendo uso de la Geometría Analítica, cuyo estudio de las figuras geométricas utiliza un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos, donde las coordenadas se presentan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones, abordaremos la temática partiendo de esta definición.

1. LACIRCUNFERENCIA
LA CIRCUNFERENCIA
DEFINICION
Una circunferencia es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del plano R2, de tal manera que se mueve en el plano, manteniéndose siempre a una distancia constante de un punto fijo “C” del plano, es decir:
C = {P(x, y) Є R2 / d(C, P)=r}
El punto fijo “C” se llama centro de la circunferencia y la distancia constante r >0 se llama radio, a la igualdad.
C:(x-h)2 + (y-k)2 = r2
Llamaremos ecuación de la circunferencia.
Ejemplo 1:
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta: L :2x-3y+12=0 , comprendida en el segundo cuadrante.
Solución:
Interceptando la rectaL con los ejes coordenados se tiene:
Si x=0→y=4→A(0;4),
Si y=0→x=-6→B(-6;0)
Como el centro C(h,k) biseca al segmento AB
entoncesh=-3 y k=2, luego C=(-3;2)
r=dC,A=(0+3)2+(y-2)2=13,
Por tanto, según la ecuación ordinaria, la
ecuación buscada sería

C: (x+3)2 + (y-2)2 = 13











2. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
E
E
Y
Y
Los elementos de la circunferencia: C = {P(x,y) Є R2 / d(C, P)=r} son:
LN
LN

D
D

A
A
B
B

C
C

F
F
LT
LT

X
X
0
0

a) “C” centrode la circunferencia.
b) “r” radio de la circunferencia.
c) “AB ” diámetro de la circunferencia
d) “FD “ cuerda de la circunferencia
e) “LT” recta tangente a la circunferencia
f) “LN” recta normal a la circunferencia

3. PROPIEDADES
Si LT es la recta tangente y LS la recta secante, entonces:
1. CT⊥ PT, es decir, r⊥ LT
2. │PT│2 = │AP│x│BP│
3. Mayor y menordistancia de un punto a una circunferencia
│PD│ = │PC│+│ED│ │PD│ = │PC│+r
│PE│ = │PC│-│CE│ │PE│ = │ED│-r

Y P
B

A E
LS

h rT
k
D
LT

0 X
4. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
A. FORMA ORDINARIA
La ecuación de una circunferencia de centro del punto c(h,k) y de radio r>0 es dado por:C: (x-h)2 + (y-k)2 = r2

DEMOSTRACION:
Consideramos un punto P(x,y) de la circunferencia C, entonces por definición de circunferencia se tiene:
D(C,P)=r

Que es la ecuación de la circunferencia, de donde:
2x-h2+(y-k)2

Elevando al cuadrado se tiene:
C: (x-h)2 + (y-k)2 = r2
Y

P(x,y)...