clasificación de superficies cuadraticas

Una cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma: P(x_1,x_2 ... x_n) = 0 \
donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas x_1, x_2 ... x_n \ .
Cuando no seprecisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman x, y, z.


Historia[editar · editar código]

Fueronlos matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron el estudio de las cuádricas, con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cónicas, curvas en un plano bidimensional, aunque noemplearon ecuaciones.
Definición algebraica[editar · editar código]

Una cuádrica o superficie cuádrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables(coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son \{x_1, x_2, ... x_D\}\,, entonces la cuádrica típica en ese espacio se define mediante la ecuación algebraica:
\sum_{i,j=1}^D Q_{i,j} x_i x_j +\sum_{i=1}^D P_i x_i + R = 0
donde Q es una matriz cuadrada de dimensión (D), P es un vector de dimensión (D) y R es una constante. Si bien Q, P y R son por lo general reales o complejos, una cuádricapuede definirse en general sobre cualquier anillo.
Ecuación cartesiana[editar · editar código]
La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Eyz +Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 \,
La definición algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema.
Por ejemplo, la ecuación:
x^2 + y^2 + z^2+2xy + 2yz + 2xz = 0 \
es de segundo grado pero, también se puede escribir como:
(x+y+z)^2 = 0 \
que equivale a:
x + y + z = 0 \ ,
una ecuación de primer grado que corresponde a un plano,superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.
A menudo, es útil recordar que si la...