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Funciones de distribución térmica
Una función de distribución , da el número promedio de partículas que se encuentran en un estado de energía a temperatura T. Si un sistema es calentado (T elevado) las partículas son redistribuidas a altas temperaturas y se altera. Esperamos además que dependa en la naturaleza de las partículas. Para fermiones deben ser cero o uno debido al principio dePauli; para bosones se comportan de una manera consistente con la tendencia de las partículas a estar en el mismo estado.
Estamos interesados en el funcionamiento de una sistema compuesto por N partículas. Para medir cualquier cantidad, tales como la presión, ponemos un gauge en el sistema y seguimos sus lecturas sobre un periodo de tiempo suficiente. Un cálculo teórico de la misma cantidad podríaen principio ser realizado resolviendo la dependencia temporal muchos cuerpos ecuación de Schrödinger y siguiendo la evolución de la función de onda. Esto es extraordinariamente difícil, lo que es hecho en vez de eso es examinar el funcionamiento promedio de una gran cantidad de similares sistemas construidos en un tiempo único.
Supongamos que nuestro sistema está en una caja conteniendo un gasde N partículas. Asumimos que allí hay niveles de energía para cada partícula en la caja. Esta suposición es usualmente posible solo si las partículas son no interactuantes. Los niveles de energía están en cualquier momento, ocupados por partículas solo como en la notación de la sección 2-3. Para encontrar los valores promedio de , un numero grande M de aparentemente idénticas cajas, cada unacon N partículas, es examinada. De acuerdo con el hecho que es imposible seguir movimiento de partículas individuales, ningún intento es hecho para seleccionar M sistemas todos con idénticos conjuntos de trayectorias de partículas. Por el contrario, para inferir el adecuado promedio de funcionamiento de un sistema típico, elegimos condiciones iniciales al azar y posteriormente funcionamiento alazar para partículas en las distintas cajas. Esta formación constituye nuestro ensamble. Todos los sistemas tienen el mismo conjunto de niveles de energía de partículas simples, cualquier nivel de energía del sistema contiene partículas. Los números pueden diferir de un sistema a otro debido a la variación al azar de los estados de movimiento de partículas de un sistema a otro.
Si cada sistematiene un total de exactamente N partículas la suma sobre niveles de energía (una suma vertical en figura 11-2) produce

De todas formas, en la siguiente derivación vamos a relajar algo estas condiciones.
El procedimiento particular que usamos resulta en un promedio de N partículas por sistema, con fluctuaciones sobre el promedio que son muy insignificantes. Con esto en mente reemplazamos laultima ecuación con
(11-7)

dondees el actual o numero de partículas instantáneo en el sistema . Ya que el valor promedio dees N en cada uno de los M sistemas, la siguiente relación se mantiene:
(11-8).
Si consideramos un dado nivel de energía y sumamos horizontalmente en la Figura 11-2, el resultado es el número total de partículas N, en el nivel para todos los miembros del ensamble. Estoes, tenemos
(11-9)
La cantidad de interés es el significado de los promedio sobre todos los sistemas del ensamble. Este promedio es denotado simplemente por sin el sobrescrito y es
(11-10).
Otro importante atributo de cada sistema es su energía total. Justo como en el caso de número de partículas, relajamos la restricción de que cada sistema tenga exactamente energía E y asumimos soloque tiene ese valor en promedio. El sistema tiene energía actual tal que
(11-11)
Que es otra suma vertical en el esquema de la Figura 11-2. Ya que el valor promedio de es E en cada uno de los M sistemas, tenemos
(11-12).
Para determinar el valor promedio de imaginamos repetidamente arrojando partículas al azar en los sistemas ensamblados y niveles y contando con cuanta frecuencia...