Cocientes notables

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COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

COCIENTES NOTABLES: Son aquellos que sin efectuar la división, se puede escribir su desarrollo. Se caracterizan por ser cocientes exactos.
FORMA GENERAL:

xn± yn R = Q(x,y) + x±y x±y

1.

xn - yn = x n-1 + x n-2 y + x n-3 y 2 + ... + y n-1 , para “n” par o impar el R = 0. x-y

x5 - y5 Ejemplo: = x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 x-y

2.

xn +yn R = xn-1 + xn-2 y + xn-3 y 2 +... + yn-1 + x-y x-y

para “n” par o impar el R = 2yn. NO ES UN COCIENTE NOTABLE

x3 + y3 2y 3 2 2 Ejemplo: = x + xy + y + x-y x-y

xn - yn R 3. = xn-1 - xn-2 y+ xn-3 y 2 - ... ± yn-1 + x+y x+y
3.1 Si n es “par”  R = 0 Ejemplo:

x4 - y4 = x 3 - x 2 y + xy 2 - y 3 x+y

3.2 Si n es “impar”  R = -2yn

NO ES COCIENTE NOTABLE

 -2y5  x5 - y5Ejemplo: = x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 + x+y x+y

xn + yn R n-1 n-2 n-3 2 n-1 4. = x - x y + x y - ... ± y + x+y x+y
4.1 Si n es “par”  R = 2yn NO ES COCIENTE NOTABLE

Ejemplo:

 2y 4  x4 +y4 = x 3 - x 2 y + xy 2 - y 3 + x+y x+y

4.2 Si n es “impar”  R = 0

x3 + y3 Ejemplo: = x 2 - xy + y 2 x+y

PROPIEDADES

x p ± y q , se cumple p q 1. En general para un C.N = =n r s r s x±y
donde “n” es el número de términos del desarrollo del C.N

2. El término general del lugar “k” en el desarrollo del C.N será:
Tk =  x r 
n-k

 ys  , si el divisor es xr-ys
k-1

Tk = -1k+1 xr
Ejemplo:

  y 
n-k

s k-1

, si el divisor es xr+ys

x 20 - y16 = x15 - x10 y 4 + x 5 y 8 - y12 5 4 x +y

se comprueba: 20 = 16 = 4  hay 4 términos en el desarrollo
5 4 x 40 - y 24 Ejemplo: Si: es un C.N , hallar el T5 . x5 - y3 40 24 = =8 =n se comprueba 5 3

además: k = 5 entonces: T5 =  x
5 8-5

 y 

3 5-1

= x 15 y12

FACTORIZACIÓN: Convertir unasuma algebraica en producto de factores. MÉTODOS: 1. FACTOR COMÚN: Extraer el M.C.D. de la expresión total.

Ejemplo: 5x10y5 – 10x7y8 – 25x11y9 = 5x7y5(x3 – 2y3 – 5x4y4)
2. DIFERENCIA DE...
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