Compilacion Álgebra Lineal

MATRIZ
Una matriz de mxn es un arreglo rectangular de mxn entradas de elementos xIR notado como A= (aij) donde aij es la entrada de la i-esima fila con la j-esima columna.
Ejemplo:
a12=2 Fila 1- Columna 2
Si se cumple de que n=m, se tendrá una matriz cuadrada.
Sea Amxn si para todo aij=0 con 1≤ i ≤m 1≤ j ≤ n entonces Amxn=0ij

EQUIVALENCIA DE MATRICES
Se dice que a y b Mmxn (IR) soniguales si y solo si:
i. Tanto A como B tienen la misma cantidad de filas y columnas.
ii. Si A= (aij) B= (bij) aij=bij i,j con 1≤ i ≤m, 1≤ j ≤ n.

CASOS ESPECIALES DE MATRICES
* Si A es una matriz de nx1, entonces Anx1 es un vector columna n-dimensional.

* Si A es una matriz de 1xn, entonces A1xn es un vector fila n-dimensional.

ESTRUCTURA DEL CONJUNTO DE MATRICES DE TAMAÑOMXN CON LA OPERACIÓN SUMA.

SUMA DE MATRICES
Sean A=(aij), B=(bij) con A,BMmxn (IR), la suma de matrices, genera de nuevo una matriz notada A+B de tamaño mxn.

Nota: La suma de matrices se define únicamente para cuando son del mismo tamaño.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE TAMAÑO MxN
Sean A,B y C Mmxn (IR)

* Propiedad Clausurativa: A,B Mmxn (IR), entonces:

aij, bij IR, aij+bij IR con1≤ i ≤m, 1≤ j ≤ n, entonces (A+B) Mmxn (IR).

* Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)





Como aij, bij y cij IR y (IR +) son un grupo entonces se cumple que ij con 1≤ i ≤m, 1≤ j ≤ n, (aij+bij)+cij=aij+ (bij+cij).




* Propiedad modulativa: ( A Mmxn (IR)) ( P Mmxn (IR)) tal que (A+P=P+A=A): Si





Como aij y pij IR y (IR+) son un grupo entonces secumple que ij con 1≤ i ≤m, 1≤ j ≤ n, aij+pij=pij+aij=aij, pij= 0 ij.y

* Propiedad Invertiva: ( A Mmxn (IR)) (P Mmxn (IR)) (A+(-A)=(-A+A)=0
Sea A Mmxn (IR) y -A Mmxn (IR).



ij , aij+(-aij)=0 como (IR+) es un grupo, -aij es el inverso aditivo de aij ij.



* Propiedad conmutativa: Si A,B, Mmxn (IR), A+B=B+A






Como aij y bijIR y (IR+) son un grupoentonces se cumple que ij con 1≤ i ≤m, 1≤ j ≤ n, aij+bij=bij+aij.

PRODUCTO ESCALAR

Si A= (aij) es una matriz de mxn y si X es un escalar (real), entonces la matriz A es de tamaño mxn y se define como:

TEOREMA
Sean A, B Mmxn (IR) y α un escalar con α IR entonces:
i. 0 * A = 0
Sea 0 IR y 0 Mmxn (IR)



ii. α*(A+B)= α*A + α*B (Ley distributiva)iii. 1*A = A



PRODUCTO DE MATRICES

Sea A=(aij) una matriz de mxn cuyo i-esimo renglón denotamos αi, sea B=(bij) una matriz de nxp cuya j-esima columna denotamos por βj, entonces el producto de A y B es una matriz C=(cij) de mxp donde cij.



Nota: Dos matrices pueden multiplicarse solo si el numero de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. De otraforma, el producto no está definido. El producto de matrices no es conmutativo, ni cerrado.

* Ley Asociativa para la multiplicación de matrices.

Sea A= (aij) una matriz de mxn, B= (bij) una matriz de nxp y C= (cij) una matriz de pxq entonces:



Como A es de mxn y B es de nxp, AB es de nxp. Entonces (AB)C = (nxp) x (pxq) es una matriz de nxq. Por otro lado, BC es de mxq y A(BC)es de nxq de manera que (AB)C y A(BC) son ambas del mismo tamaño. Debe demostrarse que la componente ij de (AB)C es igual a la componente ij de A(BC). Si se define D = (dij) = AB, entonces

La componente ij de (AB)C = DC es

Ahora se define E = (eij) = BC. Entonces

y la componente ij de A(BC) = AE es

Así, la componente ij de (AB)C es igual a la componente ij de A(BC). Esto demuestra laley asociativa.

* Leyes distributivas para la multiplicación de matrices:

Si todas las sumas y productos siguientes están bien definidas, entonces
i.

Sea A una matriz de n x m y sean B y C matrices de m x p. Entonces la componente kj de B+C es bkj + ckj y la componente ij de A(B+C) es



Nota: Si A Mmxn (IR), (B+C)nxq Mnxq (IR)
ii.

Sean A y B matrices...