Complejos

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.
Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares de números realesen el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma.
Multiplicación.

En el número complejo llamaremos a la parte real y a la parte imaginaria. Note que la suma y producto de paresno está definida en .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad.
Multiplicación por un escalar. donde .

Ejemplo.Dados y , hallar:
a)
b)
c)

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1) En estarepresentación se le dice eje real (Re) al eje de las y eje imaginario (Im) al eje de las .



Gráfica 1: Representación del número complejo .

Podemos considerar que los números reales estáncontenidos en los números complejos puesto que en el plano el número complejo coincide con el número real . De este modo tenemos cuando . Los números complejos de la forma son llamados imaginariospuros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar :



Para eso escribimos el número real en la forma y aplicamos la definición de multiplicación:

.Denotaremos el número complejo con la letra y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que .



Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .


Formabinómica de un número complejo
Sea un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:



Pero como y , entonces . En este caso se llama forma binómica o binomia del número complejo.Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica
, puesto que son todos números reales.
porque .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones...