Concavidad-convexidad

Concavidad y convexidad
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Copyright © 1997-2007 Martin J. Osborne. Version: 2007/7/23
Traducido por Luis Zemborain
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• 1 Funciones cóncavas y convexas de una variable
• 2 Formas cuadráticas
o 2.1 Definiciones
o 2.2 Condiciones para definidaso 2.3 Condiciones para semidefinidas
• 3 Funciones cóncavas y convexas de múltiples variables
4 Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad

1 Funciones Cóncavas y convexas de una sola variable
Definiciones generales
El doble concepto de concavidad y convexidad se utiliza ampliamente en la teoría económica, y también es fundamental en la teoría de optimización. Una función de una solavariable es cóncava si cada segmento que une dos puntos en su gráfico no está por encima de la gráfica en cualquier lugar. Simétricamente, una función de una sola variable es convexa si cada segmento que une dos puntos en su gráfico no se encuentra por debajo del gráfico en cualquier lugar. Estos conceptos se ilustran en la siguiente figura.
[pic]
Aquí presentamos una definición precisa.|Definición |
|Sea  f  una función de una sola variable definida en un intervalo. Entonces f es: ||cóncava si cada segmento que une dos puntos de su gráfico no está nunca por encima del gráfico. |
|convexa si cada segmento que une dos puntos de su gráfico no está nunca por debajo del gráfico.|

Para que esta definición sea útil tenemos que traducirla a una condición algebraica que se pueda comprobar. Sea f una función definida en el intervalo [ x 1, x 2], dicha función es cóncava, según la definición si, para cada par de números a y b con x 1≤ a ≤ x 2 y  x 1≤ b ≤ x 2, el segmento desde ( a ,  f ( a )) a ( b ,  f ( b )) se encuentra en o por debajo de la función, como seilustra en la figura siguiente.
[pic]

Llamemos a la altura del segmento desde ( a ,  f ( a )) a ( b ,  f ( b )) en el punto x como h a, ,b( x ). Luego, para que la función f  sea cóncava, necesitamos
 f ( x ) ≥ h a, ,b( x ) para todos los x con a ≤ x ≤ b (*), para cada par de números a  y b con x 1≤ a ≤ x 2 y x 1≤ b ≤ x 2.
Ahora, cada punto x con a ≤ x ≤ b se puede escribir como x = (1 - λ) a + λ b , donde λ es un número real entre 0 y 1. (Cuando λ = 0, tenemos x =a , cuando λ = 1 se tiene x = b ). El hecho de que h a, ,b es lineal significa que:
h a ,b((1 - λ) a  + λ b ) = (1 - λ) h u ,b( a ) + λ h  ,a b( b )
para cualquier valor de λ con 0 ≤ λ ≤ 1. Además, tenemos h a  ,b( a ) = f ( a ) y h a ,b( b ) = f ( b ) (el segmento coincide con la función en sus extremos), de modo que:h a ,b((1 - λ) a + λ b ) = (1 - λ) f ( a ) + λ f ( b ).
Así, la condición (*) es equivalente a:

 f ((1-λ) a + λ b ) ≥ (1 - λ) f ( a ) + λ f ( b ) para todo λ con 0 ≤ λ ≤ 1.

Podemos hacer un argumento simétrico para una función convexa. Así, la definición de concavidad y convexidad de funciones puede ser reescrita como sigue.

|Definición|
|Sea f  una función de una sola variable definida en el intervalo I . Entonces f es |
|cóncava si para todo a [pic] I , todo b [pic] I ,...