Conceptos De Teoria De Decisiones

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.
Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales
Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventosque no pueden ocurrir simultaneamente .
Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral
Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia delotro.
EJEMPLO: Se lanza un dado
a) Encontrar el espacio muestral.
Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Enumerar los puntos muestrales.
Solución: Hay seis puntos muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.
c) Poner dos ejemplos de eventos.
Solución: evento A = {resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}
d) ¿Son mutuamente excluyentes lossiguientes eventos? A = {resultado menor o igual a 4}, B = {resultado es primo}.
Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5} sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente excluyentes.
e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}?
Solución: {1, 3, 4, 5}.
f) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = {obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B ={obtener un 4 en el segundo lanzamiento}.
Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.
Definiciones

Definiremos las principales operaciones entre conjuntos.

Union

La union de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. Se nota A ∪ B.

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

La disyuncion, ∨, se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”.

Interseccion

La interseccion de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B. Se nota A ∩ B.

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Si A y B no tienen elementos en comun, es decir, si A ∩ B = ∅, entonces diremos que A y B son conjuntos disjuntos.

Ejemplo 2.1 SeanA, B y C tres conjuntos.

(a) Demostrar que si C ⊆ A y C ⊆ B, entonces C ⊆ (A ∩ B), es decir, A ∩ B es el mayor conjunto que contiene a A y a B.

(b) Demostrar que si C ⊇ A y C ⊇ B, entonces C ⊇ (A ∪ B), es decir, A ∪ B es el conjunto mas pequeño que contiene a A y a B.

Solucion

(a) Supongamos que C ⊆ A y C ⊆ B, entonces la proposicion

∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ ∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ B)

esverdad. Esta proposicion es equivalente a

∀x [(x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ (x ∈ C =⇒ x ∈ B)]

la cual, a su vez, equivale a

∀x, [ x ∈ C =⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B)]

de aquı que

∀x, x ∈ C =⇒ x ∈ [(A ∩ B)]

y, por lo tanto,

C ⊆ A ∩ B

(b) Supongamos que C ⊇ A y que C ⊇ B, y sea x un elemento arbitrario de A ∪ B entonces,

x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B {Definicion de union}

=⇒ x ∈ C ∨ x ∈ C {Porhip´otesis}

⇐⇒ x ∈ C {Idempotencia de ∨}

luego,

∀x,(x ∈ A ∪ B =⇒ x ∈ C)

de aquı que

C ⊇ (A ∪ B)

Diferencia

La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se nota por A \ B.

A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈/ B}

El conjunto A \ B se lee “A menos B” y recibe tambien el nombre de complementario relativodel conjunto B respecto del conjunto A.

Complementario

El complementario de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A. Se nota Ac.

Ac = {x : x ∈ U ∧ x ∈/ A}

Observese que el complementario de A es igual a la diferencia entre U y A, es decir, Ac = U \ A.

Diferencia Simetrica

La diferencia simetrica entre dos...