Congruencia de Triangulos

CONGRUENCIAS


Congruencia de dos figuras planas.
Dos figuras planas son congruentes si una de ellas puede ser convertida en la otra por medio de movimientos, tales como: rotación, traslación, simetría con respecto a una recta. Luego, dos figuras geométricas son congruentes si ellas tienen el mismo tamaño y forma.

Segmentos congruentes
Son segmentos son congruentes si tienen igual medida.Ejemplo:






Entonces PQ  RS

Ángulos congruentes

Ángulos congruentes son aquellos que tienen igual medida.
Por ejemplo:









Luego CAB  RPQ

Triángulos congruentes

Un ABC es congruente con otro DEF si sus lados respectivos (homólogos) son congruentes y sus ángulos respectivos (homólogos) también los son.



En la figura vemos que AB  DE; BC  EF; AC  DF; y CAB  FDE, CBA  FED,BCA  DFE, entonces el ABC  DEF.

Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia y se expresan en los siguientes:

Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos tambiéncongruente.




ABC  DEF porque, AB  DE; ABC  DEF y BC  EF.

Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado común a ellos, también congruente.



GHI  JKL porque, GHI  JKL; HI  KL y HIG  KLJ


Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)
Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.



MNO PQR porque, MN  PQ; NO  QR y OM  RP

Criterio LLA (Lado-Lado-Ángulo)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al lado de mayor medida, también congruente.


ACE  BDF porque, AC  BD; CE  DF y CEA  DFB, siendo AC y BD los lados de mayor medida.



EJERCICIOS


1. Dados los siguientes triángulos, determinar cuáles son congruentes.

I)II) III)







a) Sólo I y II
b) Sólo I y III
c) Sólo II y III
d) I, II y III
e) Ninguno

2. Un alumno para demostrar en el cuadrado de la figura que ABC  BCD, determinó que AB  BD, que AC  DC y que el CAB  BDC, por ser rectos. ¿Qué criterio de congruencia utilizó?









a) LLL
b) LAL
c) ALA
d) AAL
e) LLA

3.En la figura, el CDE es isósceles. c es punto medio de AD y D es punto medio de CB. ¿Qué criterio de congruencia permite demostrar que el ACE  BDE?











a) LAL
b) ALA
c) LLA
d) LLL
e) AAL

4. En los triángulos siguientes se verifica que AB  DE, que BC  EF y que el CAB  FDE. ¿Qué criterio permite demostrar que estos triángulos son congruentes?







a) LLL
b) LAL
c) ALA
d) LLA
e)Falta Información

5. En la figura, el ABC  DEF, entonces se verifica que:








a) AC  DF
b) BC  DE
c) AB  FE
d) AC  FE
e) AB  FD

6. Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura, son congruentes, es necesario saber que:








a) AB  DC
b) BAO  DCO
c) AB // CD
d) AO  DO y AB  CD
e) BO  CO y AO  DO

7. Marca la alternativa de la proposición verdadera:

a) Dostriángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos respectivos son congruentes.
b) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos miden lo mismo.
c) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son iguales.
d) Para demostrar que dos triángulos son congruentes se puede utilizar el criterio AAL
e) Todos los triángulos equiláteros son congruentes.

8. Los triángulos ABC y DEF dela figura son congruentes, entonces la medida de EF es:











a) 9
b) 15
c) 17
d) 40
e) Falta información

9. En la figura, ABCD es rectángulo y el DEA  CFB. ¿Qué criterio permite demostrar que el EAD  FBC?










a) LLL
b) LLA
c) ALA
d) LLA
e) Falta Información

10. En la figura, ABC equilátero y AF  BD  CE. El criterio que permite demostrar que los triángulos AFD, ECF y BDE...