Conicas

1. Usando  la  definición,  hallar la ecuación  de la parábola  que tiene su  foco en  F(2,0)  y su dirección DD es la recta de ecuación x = -2.
Solución:
Trácese la gráfica con los elementos dados.
 
| De acuerdo a la definición, un punto 
Pero,  Luego,
Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene:
  |
 fig. 6.5.1.
De donde y2 = 8x es la ecuación de la parábola pedida.
2.Dada la parábola que tiene por ecuación 
x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica.
Solución:
la ecuación x2 = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema 1. Entonces, 2p = -6, de donde p= -3 < 0.
 
| Como p < 0, la parábola se abre hacia abajo.
El foco se encuentra sobre el eje y en elpunto F (0, -p/2).
La ecuación de la directriz es la recta , 
es decir,  |
 Fig 6.5.2
3. Dado el punto del plano B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B pasa la parábola  (1).
Determine el foco y la ecuación de la directriz
Solución:
Como se sigue que el punto B(a, b) satisface la ecuación (1) y por lo tanto B pertenece a la parábola.

 
 
| Ahora, de acuerdo a laparte ii del teorema 1. con lo cual  En consecuencia, el foco se encuentra localizado 
en el punto  y la ecuación de la directriz 
es la recta  |

fig 6.5.3

4. Dada la ecuación (y’)2 = 4x’, referida al sistema x’-y’ en donde el nuevo origen es el punto (2, 3). Hallar la ecuación de la gráfica en términos de x e y.
Solución:
La ecuación (y’)2 = 4x’ representa en el sistema x’-y’ unaparábola con vértice en O’(2, 3). La  parábola  se abre hacia la derecha  y  además  2p = 4, de  donde p = 2.  Con lo cual
= distancia del vértice al foco.
 
 
|
 Fig. 6.5.4.
Dado que O’ (2, 3) se deduce de las relaciones (1) y (2) de la sección 6.1.2. que:
de donde 
 
Sustituyendo los valores de x’ e y’ en la ecuación inicial, se obtiene:

Esta  última  ecuación,  representa  unaparábola  cuyo vértice es el punto V (2, 3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz es 1.
5. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de  ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2).
Solución:
Como la directriz es la recta de ecuación x = 2, paralela al eje y, se sigue que eleje focal es paralelo al eje x y como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tiene como ecua- ción y = 2.
El vértice V de la parábola está sobre la recta y = 2 y localizado en el punto medio entre la directriz y el foco.
Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas del vértice son V(3, 2).

 
|
 fig. 6.5.5.
Ahora, la ecuación de la parábolaviene dada por:
ó 
6. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:

Solución:
Se debe expresar la ecuación en la forma:
(1)
Así, 

(Completación de cuadrados)
(2) (Factorizando)
Comparando (1) y (2) se deduce q ue: 
 
 
 
 
| Así que las coordenadas del vértice son . 
Como p = 4> 0 y la variable lineal es y, se deduce
entonces que la parábola se abre hacia arriba.
El eje focal es la recta paralela al eje y de ecuación 
y el foco se encuentra localizado en el punto
, esto es,  |
 fig. 6.5.6.
La directriz es la recta paralela al eje x, de ecuación ; esto es, 
En la figura 6.5.6. aparece la gráfica de la parábola con todos sus elementos.
7. Para laparábola demostrar que el vértice está en el punto  y que corresponde a un máximo o un mínimo de acuerdo al signo de a.
 
Solución.
La ecuación: , puede escribirse en la forma: .
Completando un cuadrado perfecto en el primer miembro de la última igualdad, se tiene:

Con lo cual,

Al comparar  esta última  ecuación,  con la  igualdad (1)  del teorema 2 (sección 6.1.3.), se deduce que el...