CONICAS

Algunas demostraciones de cónicas

1.- Deducción de la ecuación canónica de la elipse

Desarrollaremos la demostración del cálculo de la ecuación canónica de una elipse con centro coincidentecon el origen de coordenadas y diámetros mayor y menor coincidentes con los ejes x e y respectivamente.
Si P(x,y) es un punto perteneciente a la elipse, se verifica, por aplicación de la definición deesta cónica, que:
PF + PF’ = constante (1)
Como el vértice A pertenece a la elipse,
AF + AF’ = constante (2)
De acuerdo al gráfico, AF = a – c y AF’ = a + c (3)
Reemplazando las expresionesindicadas en (3) en la ecuación (2) y simplificando resulta:
PF + PF’ = 2a
siendo 2a la longitud del diámetro mayor.

Además, como B pertenece también a la elipse, BF + BF’ = 2a (4)
Lostriángulos rectángulos BOF y BOF’ son iguales por tener un cateto común, los otros catetos iguales (igual a la semidistancia focal c) y el ángulo comprendido igual (se trata del ángulo recto)
En consecuencia,las hipotenusas BF y BF’ son iguales y reemplazando en (4) resulta:
2 BF = 2a BF = a
En el triángulo rectángulo BOF, aplicando el Teorema de Pitágoras,
BF2 = BO2 + OF2 (5)
Como BF = a(semidiámetro mayor); BO = b (semidiámetro menor) y OF = c (semidistancia focal), reemplazando en (5) resulta:
a2 = b2 + c2 (6)
que es la relación que vincula estos elementos de la elipse.Apoyándonos en las deducciones anteriores, y a partir de la definición de la elipse, resulta:
PF + PF’ = 2a
[(c – x)2 + y2]½ + [(c + x)2 + y2]½ = 2a
[(c + x)2 + y2]½ = 2a - [(c – x)2 + y2]½Elevando ambos miembros al cuadrado y operando:
c2 + 2cx + x2 + y2 = 4a2 -4a[(c – x)2 + y2]½ + c2 – 2cx + x2 + y2
Simplificando y ordenando los términos de la ecuación precedente:
cx = a2 - a[(c –x)2 + y2]½
a2 – cx = a[(c – x)2 + y2]½
Elevando nuevamente al cuadrado miembro a miembro para eliminar la raíz:
(a2 – cx)2 = (a[(c – x)2 + y2]½)2
a4 – 2cxa2 + c2x2 = a2c2 – 2cxa2 + a2x2 + a2y2...