Conicas

CONICAS

INTRODUCCIÓN

Actualmente, con toda nuestra experiencia acumulada en mediciones exacta, nos parece un acontecimiento notable que unas líneas trazadas en el interior de una montaña desde distintos puntos se encuentren y formen un túnel. Cuantas más maravillas resulta que líneas que salían de los ángulos de un cuadrado perfecto pudieran ser construidas formando un ángulo determinado yconducidas con éxito hasta un punto cientos de metros más arriba! Esto y más es lo que representa la construcción de una pirámide.
Las cónicas también tienen un amplio uso como ejemplos ilustrativos en el caculo de varias variables.

Como vemos, para obtener la circunferencia de otro manto, se obtiene como sección una hipérbola.
Como vemos, para obtener la circunferencia, la elipse o laparábola basta un manto de la superficie cónica. En cambio, para obtener la hipérbola necesitamos toda la superficie cónica: una rama de la hipérbola pertenece a un manto y la otra al otro manto de la superficie.
Estudiaremos la circunferencia, que aun cuando conocida, puede servir como modelo para el estudio de estas y otras curvas. Daremos luego las definiciones para los otros tres tipos de cónicase identificaremos las propiedades geométricas útiles que aparecen en la construcción de objetos tales como puentes, telescopios o detectores de radar.

1. CONICAS

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.

2. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
Unaecuación de segundo grado es aquella en la que la incógnita aparece elevada al cuadrado, es decir, no tiene términos de mayor grado. Y al simplificarla, su forma más compleja siempre se podrá expresar según esta estructura: ax2 + bx + c = 0.
Cuando una ecuación de segundo grado la expresamos de esta forma, decimos que la hemos escrito en su forma general.

3. IDENTIFICACIÓN DE LAS SECCIONES CONICASEN LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO.
a) Si en la ecuación general de segundo grado, el coeficiente B=0 la ecuación resultante ax2+cy2+dx+ey+f=0 representa un lugar geométrico que siempre es una cónica.
* Si A=0 ó C=0 será una parábola.
* Si A y C tienen el mismo signo será una elipse.
* Si A=C será una circunferencia.
* D y E indican que el centro de la cónica( cuando lo hay),está fuera del origen de coordenadas, si D=0 el centro está sobre el eje ¨y¨, si E=0 está sobre el eje ¨x¨.
* F (término independiente) indica que la cónica no pasa por el origen, si F=0 si pasa por el origen.
* Los ejes de estas cónicas serán paralelos a los ejes coordenados x, y.

b) En la ecuación general de segundo grado ax2+cy2+dx+ey+f=0, los coeficientes de los términos desegundo grado A,B y C nos permiten identificar que tipo de cónica se tiene (también en el caso degenerado) procedimiento a analizar el discriminante (o invariante) B2-4AC como sigue.

* Si B2 - 4AC=0, se trata de una parábola (o como caso degenerado un par de rectas paralelas o coincidentes).
* Si B2 - 4AC<0, se trata de una elipse (o como caso degenerado un punto).
* Si B2 -4AC>0, se trata de una hipérbola (o como caso degenerado un par de rectas que se cortan).
* De la misma manera que en el inciso a), los coeficientes D y E indican que el centro de la curva (si lo hay) está fuera del origen, si D=0 el centro está sobre el eje ¨y¨, si E=0, estará sobre el eje ¨x¨.
* El termino independiente F indica que la curva no pasa por el origen, si F=0, la curva si pasapor el origen.
* Los ejes de estas cónicas son oblicuos respecto a los ejes x, y.
4. LA CIRCUNFERENCIA

Circunferencia es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre una distancia constante r de un punto fijo C de ese plano.

4.1 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA.
* Radio: Segmentos cuyos extremos son el centro y un punto de la...