Conjuntos y operaciones racionales

MATEMATICAS I

UNIDAD 1. CONJUNTOS:
George Cantor (1845-1918) a mediados del siglo XIX creo las bases de la “teoría de conjuntos”. Es una colección de elementos. Se representan con letras mayúsculas los conjuntos y sus elementos con letras minúsculas. El conjunto vacio o Nulo es subconjunto de cualquier conjunto.
El complemento de “NULO” es el universal. Complemento de Universal es NULO.
Elconjunto unido por su complemento da el universal.
La intersección de un conjunto con su complemento da NULO.
El complemento del complemento de un conjunto A da el mismo conjunto (Á)’=Á
Si AUB=Ø A y B deben ser Ø
Determinac ion de Conjuntos: Un conjunto se puede definir como una reunión de elementos y se puede determinar por
* Extensión:
A= {Pedro, Pablo, Carmen
B= {1, 2, 3,4…}
*Comprensión:
C= {x/x es un alumno de la facultad}
D= {x/x es jugador de millonarios}
Relaciones entre conjuntos:
1. Subconjuntos: Esta contenido en otro conjunto de igual o mayor tamaño.
2. Conjunto Referencial o Universal: Contiene a todos y cada uno de los elementos de una misma características.
3. Pertenencia: Cuando un elemento hace parte de ese conjunto.
NOTACION: Si unconjunto es muy grande o infinito se utilizan puntos suspensivos para indicar que hay elementos omitidos.
Operaciones entre Conjuntos:
1. UNION: Si A y B son conjuntos la unión quiere decir que pertenecen a A o a B o a ambos. U
2. INTERSECCION: Es el conjunto de los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. A ∩ B simultáneamente. Se dice que es un conjunto disyunto cuando algún conjuntono tiene elementos del otro.
3. COMPLEMENTO: Si A es un conjunto contenido en un conjunto universal U, es el conjunto de elementos que pertenecen a U y no pertenecen a A. Á
4. DIFERENCIA: Diferencia formada por los conjuntos que no están en el otro conjunto. A - B
Venn John (1834-1923): Lógico Británico. Creador de los diagramas de Venn para tratar la lógica de clases y los razonamientossilogísticos de una manera visual y posteriormente usados en las matemáticas (teoría de conjuntos).
Representación geométrica que muestra la relación entre conjuntos.
UNIDAD 2. SISTEMAS DE NUMEROS REALES:
SISTEMAS DE NUMEROS REALES:
1. CONJUNTOS NUMERICOS:
Números Reales: R
Al conjunto conformado por la unión del conjunto de los números racionales y de los conjuntos irracionales.
N CZ C Q C R
Q u i = r Q ∩ i = Ø
Propiedades de los números reales:
* Clausurativa: La suma a+b y el producto ab, son números reales únicos. Si sumamos o multiplicamos dos números reales el resultado es un # real único. Ejm, 2+8=10
* Conmutativa: a+b = b+a ab=ba
* Asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c a(bc)= (ab)c
* Modulativa o Distributiva:
De izquierda:a(b+c) =ab+ac
De Derecha: (a+b) c = ac+bc
* Prop de Elementos de Identidad:
Identidad Aditiva: Existe el número real cero tal que:
a+0=0+a=a para todo número real a.

De identidad Multiplicativa: Existe el número real 1 tal que:
a *1 =1*a=a para todo número real a.
* Prop de elementos Inversos:

a. Inverso Aditivo: Para cada numero real a existe un numero real llamadoinverso aditivo de a, denotado por –a, tal que:
a+(-a)=-a +a =0
b. Inverso Multiplicativo: Para cada numero real diferente de cero existe un numero real llamado inverso multiplicativo de a, denotado por 1/a, tal que a* 1/a = 1/a =1
Números Irracionales: I π= 3, 141592654… 2=1.414213562…
Es el conjunto de los decimales infinitos no periódicos.
Números Racionales: QNúmeros decimales infinitos periódicos.
*Al número de la parte de arriba de ½ se le llama numerador y al de la parte de abajo denominador.
Ejm, 2/3, -7/5, 43/37, y -20/1
2/5 = 6/15 = -14/-35 = 0.4 (expresión decimal) que puede ser hallada efectuando la operación 2 ÷5
Se pueden representar con números “conmensurables” (numero definido de cifras) Ejm, 0,6
O mediante decimales inconmensurables...