Contol De Pendulo Invertido

Dado el siguiente sistema de péndulo invertido:

* Modelo dinámico
* Mlθ=M+mgθ-u
* Mx=u-mgθ

* Variables de estado
* x1=θ
* x2=θ
* x3=x
* x4=x* Salidas
* y=y1y2=θx

M=1kg; m=0.1kg; l=0.5m g=9.81m/s2

1.- Obtener el sistema en variables de estado

* x1=x2
* x2=M+mgθ-uMl=21.582θ-u
* x3=x4
*x4=u-mgθM=u-0.981θ

x1x2x3x4=021.5821000000001-0.981000x1x2x3x4+0-201u

2.- Analizar la estabilidad del sistema por ubicación de polos, por el método de Routh-Hurwitz y por el método de estabilidad deLyapunov
Xs=s00s000000s0000s-021.5821000000001-0.981000-1*0-201U(s)

Xs=s-21.582-1s000000s10.98100s-1*0-201U(s)

Xs=500s500s2-1079110791500s2-10791500500s-10791500s500s2-10791000098121582s-1000s3-9812s2500s2-107911s1s2-9811000s2-2158298121582s-1000s301s*0-201U(s)

Xs=-1000500s2-10791-1000s500s2-10791981s2500s2-10791+1s21s-196221582s-1000s3U(s)Ys=CXs=10000010-1000500s2-10791-1000s500s2-10791981s2500s2-10791+1s21s-196221582s-1000s3U(s)

YsUs=Gs=10000010-1000500s2-10791-1000s500s2-10791981s2500s2-10791+1s21s-196221582s-1000s3=-1000500s2-10791981s2500s2-10791+1s2Gs=-2s2-21.582s2-19.62s2s2-21.582

Polos
Polos de θ
s2-21.582θ→s=±21.582→s=±4.6456
Sistema Inestable
Polos de x
s2s2-21.582θ→s=0,±4.6456
Sistema Inestable

Routh-Hurwitz
De θ
s2 | 500 | -10791 |
s | 1000| 0 |
1 | -10791 | 0 |
Sistema Inestable
De x
s4 | 1 | -21.582 | 0 |
s3 | 3 | -21.582 | 0 |
s2 | -14.338 | 0 | 0 |
s | -21.582 | 0 | 0 |
1 | -21.582 | 0 | 0 |
Sistema Inestable

3.-Definir controlabilidad y, basado en el teorema de controlabilidad, mencionar si el sistema es controlable o no es controlable.

* Controlabilidad: Se dice que un sistema es controlable si paracualquier estado inicial x0=x0ϵRn y cualquier estado final x1ϵRn del par (A, B), existe una entrada que transfiere el estado x de x0 a x1 en un tiempo finito. En caso contrario, el par (A,B) se dice...