Pendulo Invertido

PLANTA: PÉNDULO INVERTIDO







Presentado por:

Cristian Camilo Centeno
Cristian Camilo Ospina Alzate
Cesar David Arango Osorio
Lizeth Castro Camacho





Presentado a:

PshD: Iván Ramírez





Asignatura:

Laboratorio: Control de procesos





Universidad del Quindío
Facultad de Ingeniería
Programa de Ingeniería Electrónica
04 de Abril de 2013
Armenia–Quindío
FORMULACION DEL PROBLEMA
El sistema consiste en un péndulo invertido montado a un carro motorizado. Su popularidad proviene en parte del hecho que es inestable sin el control, es decir el péndulo simplemente se caerá si el carro no es movido para equilibrarlo. Además, la dinámica del sistema es no lineal. El objetivo del sistema de control es equilibrar el péndulo invertido aplicando unafuerza al carro al cual el péndulo es conectado.

DESCRIPCIÓN DEL SET – UP

En este caso consideraremos un problema bidimensional donde el péndulo es obligado a moverse en el eje vertical mostrado en la figura 1. Para este sistema, la entrada de control es la fuerza que mueve el carro horizontalmente y las salidas son la posición angular del péndulo y la posición horizontal del carro tal comose esboza en el gráfico:

Figura 1 – Planta péndulo invertido
Para el controlador PID de este problema, estaremos interesados sólo en el control de la posición del péndulo. Esto es porque las técnicas usadas en estas secciones son satisfechas para una sola entrada y una sola salida, sistemas (SISO). Por lo tanto, ninguno de los criterios de diseño tratará con la posición del carro. Sin embargo,investigaremos el efecto del regulador sobre la posición del carro después de que el regulador ha sido diseñado. Para estas secciones, diseñaremos a un regulador para restaurar el péndulo a una posición verticalmente ascendente después de que se ha experimentado "un golpe" impulsivo al carro.
MODELO (ED & ESPACIO DE ESTADO)

El modelo presentado en la figura anterior ilustra el sistema quemodelaremos a continuación, es importante recalcar que no se tendrá en cuenta la fricción resultante por el roce entre la barra y el acople al carro, la barra en el modelo presentado anteriormente fue remplazado por una masa “m” ubicada a una longitud “l” por motivos de facilidad de análisis. El análisis de este sistema se realiza utilizando análisis de energía y la ecuación de Lagrange, veamosentonces.
En primer lugar determinemos las energías, cinéticas y potenciales que actúan en el sistema; la energía cinética de este sistema proviene de dos lugares diferentes, el primero es el movimiento del carro y el segundo son los movimientos traslacionales y rotacionales de la masa al final del péndulo; así la energía cinética del sistema está dada por:
(1)
Donde la velocidad “u” se debea la velocidad traslacional de la masa “m” y está definida como se esboza en la figura 2:

Figura 2 – Masa del extremo superior de la barra
De donde se hace evidente la relación:
(2)

Siendo ux y uy las velocidades en dirección de x e y respectivamente, por lo que podemos definirlas así:



Reemplazando en (1) obtenemos entonces una energía cinética final:
(3)Calculando la energía potencial del sistema, nos damos cuenta de que la energía potencial del carrito al ser perpendicular al movimiento no nos interesa en estos cálculos por lo que la energía potencial del sistema estará dada por:
(4)
Nuestro lagrangiano será:
(5)
Ahora bien nuestro sistema no es conservativo y disipa energía por la fricción con el suelo por el carro, esto hace queaparezca:
(6)
La ecuación de Lagrange:
(7)
Donde qi es la coordenada generalizada; en nuestro caso tenemos dos coordenadas generalizadas x y . Para x tenemos:




Finalmente Obtenemos:
(8)
Para la segunda coordenada generalizada tenemos:




Nuestra segunda ecuación será:
(9)
Por lo tanto las ecuaciones que debemos linealizar...