pendulo invertido

 

TEORÍA DE CONTROL III
REALIZADO POR:
- Hugo Santiago Redrován Parra

ANÁLISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN ESPACIO DE ESTADOS
Obtener los valores de K para el problema del péndulo invertido por Ackerman
𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓  𝑲  𝒑𝒂𝒓𝒂

𝟒 ≤ 𝒕𝒔 ≤ 𝟓
  → 𝑹𝒆𝒖𝒃𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐  𝒍𝒐𝒔  𝒑𝒐𝒍𝒐𝒔  𝒆𝒏  𝒖𝟏,𝟐 = − 𝟏 ± 𝒋 𝟑; 𝒖𝟑,𝟒,𝟓 = −𝟓
𝑴𝒑% ≤ 𝟏𝟔%

Ecuaciones general del péndulo invertido
𝑴𝒍𝜽 = 𝑴 + 𝒎 𝒈𝜽 − 𝒖
𝑴𝒙= 𝒖 − 𝒎𝒈𝜽
Datos del péndulo invertido
𝑴 = 𝟐𝒌𝒈;          𝒎 = 𝟎. 𝟏𝒌𝒈;          𝒍 = 𝟎. 𝟓𝒎
𝒙𝟏 = 𝜽;          𝒙𝟐 = 𝜽;          𝒙𝟑 = 𝒙;          𝒙𝟒 = 𝒙;

Péndulo invertido

Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones del péndulo invertido
𝒙𝒈 =  𝒙 + 𝒍 ∗ 𝒔𝒆𝒏(𝞠)
 
𝒚𝒈 = 𝒍 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝞠)
 
Para
 el
 movimiento
 rotacional
 del
 péndulo
 se
 tiene,
 
 
𝑰𝞠 = 𝑽𝒍𝒔𝒆𝒏 𝞠 −𝑯𝒍𝒄𝒐𝒔(𝞠)
 
Movimiento
 Horizontal
 
𝒎

𝒅𝟐
= 𝒙 + 𝒍𝒔𝒆𝒏(𝞠) = 𝑯
 
𝒅𝒕𝟐

Movimiento
 Vertical
 
1
 

 


 


 
𝒎

𝒅𝟐
= 𝒍𝒄𝒐𝒔𝞠 = 𝑽 − 𝒎𝒈
 
𝒅𝒕𝟐

𝑴

𝒅𝟐 𝒙
= 𝒖 − 𝑯        𝑬𝒄𝒖. 𝟓
 
𝒅𝒕𝟐

Como
 las
 variaciones
 de
 ángulo
 tienen
 que
 ser
 mínimas,
 entonces
 se
 puede
 decir
 que:
 
𝞠 = 𝟎                        𝒑𝒐𝒓  𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐  𝒔𝒆𝒏  𝞠 = 𝟎  𝒚  𝒄𝒐𝒔 𝞠 = 𝟏
 obteniendose
 
𝑰𝞠 = 𝑽𝒍𝞠 − 𝑯𝒍                    𝑬𝒄𝒖. 𝟔  
 
𝒎 𝒙 + 𝑰𝞠 = 𝑯                  𝑬𝒄𝒖. 𝟕  
 
𝟎 = 𝑽 − 𝒎𝒈                                𝑬𝒄𝒖. 𝟖  
 
Resolviendo
 las
 ecuaciones
 5
 y
 7
 se
 tiene
 
𝑴 + 𝒎 𝒙 + 𝒎𝒍𝞠 = 𝒖
 
Resolviendo
 las
 ecuaciones
 6
 ,
 7
 y
 8
 se
 tiene
 
𝑰𝞠 = 𝒎𝒈𝒍𝞠 − 𝑯𝒍                   
 
𝑰𝞠 = 𝒎𝒈𝒍𝞠 − 𝒎 𝒙 + 𝑰𝞠 𝒍    
 
𝒎𝒈𝒍𝞠 = 𝒎𝒍𝒙 + (𝑰 + 𝒎𝒍𝟐 )  𝞠
 
Suponiendo
 que
 𝑰 = 𝟎
 ya
 que
 el
 momento
 de
 inercia
 del
 péndulo
 respecto
 de
 su
 centro
 de
 
gravedad
 es
 pequeño
 se
 tiene
 que:
 
𝑴 + 𝒎 𝒙 + 𝒎𝒍𝞠 = 𝒖
 
𝒎𝒍𝟐  𝞠 + 𝒎𝒍𝒙 = 𝒎𝒈𝒍𝞠
 

 

𝑴𝒍𝜽 = 𝑴 + 𝒎 𝒈𝜽 − 𝒖
𝑴𝒙 = 𝒖 − 𝒎𝒈𝜽 


 

Ecu. 15
Ecu. 16

La
 función
 de
 transferencia
 seria
 
−

𝞠(𝒔)
𝟏
=
=
𝑼(𝒔) 𝑴𝒍𝒔𝟐 − (𝑴 + 𝒎)𝒈

𝟏
𝑴𝒍 𝒔 +

𝑴+𝒎
𝒈
𝑴𝒍

𝒔−

𝑴+𝒎
𝒈
𝑴𝒍


 

Solución para determinar las matrices en variables de estado
𝒙𝟏 =  𝞠
 
𝒙𝟏 =   𝞠 =   𝒙𝟐
 
𝒙𝟐 = 𝞠  
 

2
 

 


 


 
𝒙𝟐 = 𝞠 =

𝑴 + 𝒎 𝒈𝒙𝟏 − 𝒖
 
 
𝑴𝒍

𝒙𝟑 =  𝒙
 𝒙𝟑 =   𝒙 = 𝒙𝟒
 
𝒙𝟒 = 𝒙
 
𝒙𝟒 = 𝒙 =

𝒖 − 𝒎𝒈𝒙𝟏

 
𝑴
𝟎
𝟏
𝒙𝟏
−
𝟎 𝒙
𝟐
𝑴𝒍
+
𝒖
 
𝟎
𝟏 𝒙𝟑
𝒙𝟒
𝟏
𝟎
𝑴

𝟎
𝒙𝟏
(𝑴 + 𝒎)𝒈
𝒙𝟐
𝑴𝒍
=
𝒙𝟑
𝟎
𝒎𝒈
𝒙𝟒
−
𝑴

𝟏

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎
𝟐 + 𝟎. 𝟏 𝟗. 𝟖𝟏
𝟐(𝟎. 𝟓)
𝟎
𝟎. 𝟏 𝟗. 𝟖𝟏
−
𝟐

𝟏

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝒙𝟑
𝒙𝟒

𝟎

𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝟏 𝒙𝟑
𝒙𝟒
𝟎

𝟎
𝟏
−
𝟐(𝟎. 𝟓)
+
𝒖
 
𝟎
𝟏
𝟐(𝑴 + 𝒎)𝒈
𝒎𝒈
𝟏
𝟏
= 𝟐𝟎. 𝟔𝟎𝟏                              
= 𝟎. 𝟒𝟗𝟎𝟓                        
= 𝟏                     = 𝟎. 𝟓
 
𝑴𝒍
𝑴
𝑴𝒍
𝑴
𝒙𝟏
𝟎
𝒙𝟐
𝟐𝟎. 𝟔𝟎𝟏
=
𝒙𝟑
𝟎
𝒙𝟒
−𝟎. 𝟒𝟗𝟎𝟓

𝟏
𝟎
𝟎
𝟎

𝟎
𝟎
𝟎
𝟎

𝟎
𝟎
𝟏
𝟎

𝒙𝟏
𝟎
𝒙𝟐
+ −𝟏 𝒖
 
𝒙𝟑
𝟎
𝒙𝟒
𝟎. 𝟓

Considerando que el ángulo 𝛲 indica la rotación de la barra del péndulo con respecto al punto P y
que 𝑥 es la ubicación.Por tanto 𝛲 y 𝑥 como salidas del sistema.
𝒚𝟏
𝒙𝟏
𝞠
𝒚= 𝒚 =
= 𝒙
 
𝒙
𝟐
𝟑
𝒚𝟏
𝟏
𝒚𝟐 = 𝟎

𝟎
𝟎

𝟎
𝟏

𝒙𝟏
𝟎 𝒙𝟐

 
𝟎 𝒙𝟑
𝒙𝟒

De donde
𝒙 = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖
 
𝒚 = 𝑪𝒙
 
𝟎
𝟐𝟎. 𝟔𝟎𝟏
𝑨=
𝟎
−𝟎. 𝟒𝟗𝟎𝟓

𝟏
𝟎
𝟎
𝟎

𝟎
𝟎
𝟎
𝟎

𝟎
𝟎
                                             𝑩 =
𝟏
𝟎

3
 

 

     𝟎
−𝟏                                          𝑪 = 𝟏
𝟎
     𝟎𝟎. 𝟓

𝟎
𝟎

𝟎
𝟏

𝟎

 
𝟎


 


 

Resolución por fórmula de Ackermann
Partiendo de la fórmula desarrollada de Ackermann que para nuestro caso es de cuarto orden
debido al cuarto orden de la matriz A, que se escribe de la siguiente manera:
𝐊= 0

0

0

1 B

A2 B

AB

A3 B

!!

𝜙 𝐀

De donde 𝜃 𝐀 = 𝛼! 𝐀! + 𝛼! 𝐀! + 𝛼! 𝐀! + 𝛼! 𝐀 +...