Control Algebra

Trabajos para el control 2
1. Determinar y A= para que las matrices 2 1 ; B= 5 3 5 2 3 , C= 1 11 4

sean linealmente dependientes. Relación de dependencia. 2Consideremos dos espacios vectoriales E y F y una aplicación lineal T : E ! F: Con referencia a las bases BE y BF la aplicación lineal está representada por una matrizA:¿Cómo se construye la matriz A? El subespacio imagen está constituido por los vectores de F que son imagen de algún vector de E. Si BE = fe1 ; e2 ; :::; en g es labase de E, escribir un sistema de generadores para el subespacio imagen Im T: La ecuación de la transformación será Y = AX Si ahora se realiza un cambio de base en elespacio vectorial E de matriz de paso P y un cambio en F de matriz Q, deducir razonadamente la matriz B de la aplicación lineal T : E ! F respecto de las nuevas bases.Aplicación: Sea T una aplicación de R3 en R2 de…nida respecto de las bases fe1 ; e2 ; e3 g y ff1; f2 g por la matriz A= 2 3 1 2 1 3

a) Estudiar el subespacioimagen y el núcleo. b) Se toma en R3 la nueva base e0 = e2 + e3 ; e0 = e1 + e3 ; e0 = e1 + e2 : 1 2 3 Determinar la nueva matriz A1 del operador. 1 1 0 0 c) Se elige ahorapara la base de R2 , f1 = 2 (f1 + f2 ); f2 = 2 (f1 f2 ), 3 0 0 0 conservando para R la base fe1 ; e2 ; e3 g :Determinar la nueva matriz A2 de T . 3 Demostrar que lamatriz A que veri…ca la relación A2 + A + I = 0 admite inversa y expresarla con ayuda de A. 4 En la base fe1 ; e2 ; e3 g de R3 determinar la matriz de un endomor…smoT cuyo subespacio imagen está engendrado por los vectores T e1 T e2 = = (2; 1; 1) (3; 0; 1)

y cuyo núcleo está engendrado por el vector (1; 2; 1):

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