Controladores algebraicos

Universidad Nacional De Colombia Facultad De Ingenier´ ıa ´ ´ Departamento De Ingenier´ Electrica Y Electronica ıa

Control 2009-II

Fabi´n Augusto a Pab´n Rosas 261448 o 10 de noviembre de 2009

Control Entrega - Tarea No. 4

Control de 1 G.d.L
Considere un sistema Masa-Resorte-Amortiguador, el cual se puede describir por las ecuaciones G(s) ∼ x = Ax + Bu ˙ y = Cx

Donde x ∈ R2 sonlos estados del sistema y u ∈ R1 es la se˜al de control, i.e. la fuerza externa aplicada. n Las matrices A ∈ R2x2 , B ∈ R2x1 y C ∈ R1x2 son constantes y tiene los siguientes valores A= 0 1 −10 −10 B= 0 1 C= 1 0

Dise˜e un controlador algebraico tal que el sistema tenga din´micas dominantes en lazo cerrado de la n a forma αc = s2 + 10s + 25 En primer lugar se har´ el c´lculo para obtener G(s) apartir de las matrices A, B, y C (con d = 0), esto a a es, se sabe por hip´tesis que G(s) se puede obtener de forma relativamente sencilla teniendo en cuenta o siguiente definici´n o G(t) = Y (t) U (t)

En donde b´sicamente hay que resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 inc´gnitas en forma matricial, a o depu´s de aplicar transformada de Laplace en las ecuaciones que se dan para G(t). Elresultado que se e obtiene es el siguiente: G(s) = C(sI − A)−1 B + d Que para el caso queda G(s) = 1 0 s 1 0 0 0 − 1 −10 1 −10
−1

(1)

0 = 1 1

0

s −1 10 s + 10

−1

0 1

Aplicando reducci´n de Gauss - Jordan para encontrar la inversa de la matriz se tiene lo siguiente: o G(s) = 1 0
s+10 s2 +10s+10 −10 s2 +10s+10 1 s2 +10s+10 s s2 +10s+10

0 1

1

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→ G(s) =

1 s2 + 10s + 10

Ahora se empezar´ con el dise˜o del controlador algebraico teniendo en esta forma la planta G(s). a n Entonces, el polinomio caracter´ ıstico se escoger´ de tal forma que se cumpla la condici´n de que tenga a o din´micas dominantes de lazo cerrado de la forma: a αc= s2 + 10s + 25 = (s + 5)2 Se escoger´ entonces un polo en -22 (que est´ a m´s de una octava de los polos que se requiere sean a a a dominantes), y as´ se tiene que: ı DT (s) = (s + 22)(s + 5)2 = s3 + 32s2 + 245s + 550 El orden m del controlador se determinar´ a teniendo en cuenta que el orden de la planta es n = 2, por a ello m≥n−1=1 Por lo que al escoger el controlador de orden m´ ınimo seestablece que m = 1, o sea que el controlador C(s) es de la forma C(s) = B1 s + B0 A1 s + A0

Ahora, se formar´ el sistema lineal asociado a Sm C1 = F , recordando que Sm es la matriz de Sylvester, a C1 el vector asociado al controlador, y F el vector asociado a DT (s), as´ ı  1 10  10 0     1 A1 0 0 0 1 0 0 A0   32     =  10 1 0 B1  245 10 0 1 B0 550

La soluci´n de estesitema es: A1 = 1 , A0 = 22 , B1 = 15 , B0 = 330 o Por lo que el controlador C(s) queda dado por: C(s) = 15s + 330 s + 22 (2)

Con ese controlador C(s) y la planta G(s), la funci´n de lazo cerrado queda as´ o ı: T (s) = 15s + 330 s3 + 32s2 + 245s + 550 (3)

2

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Control 2009-IIDise˜e un controlador algebraico con acci´n integral, donde la funci´n caracter´ n o o ıstica dominante deseada est´ dada por αc a En este caso se escoger´ el orden del controlador como m = 2 para incluir la acci´n integral, ya que a o el sistema quedar´ subdeterminado y as´ se podr´ disponer de una de las inc´gnitas resultantes en el a ı a o contrololador C(s) que en este caso va a quedarcomo C(s) = B2 s2 + B1 s + B0 A2 s2 + A1 s + A0

El sistema de lazo cerrado tendr´ entonces 4 polos (m + n) bajo las condiciones mencionadas. Se requiere a que αc siga teniendo dominancia, por lo que de forma arbitraria se escoger´n los dos polos restantes en a -22 y -44. Esto significa que DT (s) = (s + 22)(s + 44)(s + 5)2 = s4 + 76s3 + 1653s2 + 11330s + 24200 Resta de nuevo establecer la...