Control digital

Se puede empezar a estudiar el comportamiento y utilización de la transformada Z una vez que ya se estudiaron los métodos para describir y analizar el comportamiento de sistemas discretos lineales e invariantes con el tiempo o desplazamiento. Estas técnicas se llevan a cabo en el dominio del tiempo ya que las señales se representan como funciones del tiempo. Sin embargo, aunque dichosprocedimientos son simples pueden resultar en ocasiones muy laboriosos. Por lo cual se introduce una herramienta matemática que simplifica el análisis y síntesis de los sistemas discretos lineales e invariantes con el tiempo, la transformada z.
La transformada z permite realizar operaciones y “ver” propiedades y características de los sistemas y señales discretos en una forma más simple que en el dominiodel tiempo.

La principal ventaja del método de la transformada z es que habilita al ingeniero para aplicar los métodos de diseño convencionales de sistemas en tiempo continuo a sistemas en tiempo discreto que pueden ser en parte en tiempo discreto y en parte en tiempo continuo.

En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal que esté definida en eldominio del tiempo discreto (que es una secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ esa las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.
La transformada z de una señal de tiempo discreto x[n] se define como:

n z n x z X donde z es una variable compleja.
La transformada z de una señal x[n] se denota por

Mientras que la relación entre x[n] y X(z) se indica mediante

Desde un punto de vista matemático, la transformada z es simplementeuna representación alternativa de la señal. De este modo el coeficiente de z-n, para una transformada determinada, es el valor de la señal en el instante n. Y por tanto, el exponente de z contiene la información necesaria para identificar las muestras de la señal.
Región de convergencia (ROC)
La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z existe.La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando x[n]z − n es absolutamente sumable.

Propiedades de la Región de Convergencia:
La región de convergencia tiene propiedades que dependen de lascaracterísticas de la señal, x[n].
• La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para toda la z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
• Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞.
• Si x[n] es una secuencia del lado derechoentonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde x[z].
• Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en x[z].
• Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo

Ejemplo 1.
Determina la transformada z de la secuencia mostrada enla figura 1.

Fig. 1 Secuencia x[n].

Propiedades de la transformada z.
En la tabla 1, se muestran de forma resumida las propiedades más importantes que cumple la transformada z
Tabla 1 Propiedades de la transformada z.

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