Control Digital

2.1 SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER
Las series de Fourier describen señales periódicas como una combinación de señales armónicas también conocidas como sinusoidales. Con esta herramienta podemos analizar una señal periódica en términos de su contenido frecuencial o espectro, además nos permitirá establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia, de forma que operaciones realizadas en el dominiotemporal tienen su dual en el dominio frecuencial. Con la forma trigonométrica de las series de Fourier: se pretende describir una función periódica xp(t) de periodo T (frecuencia fundamental f0=1T, w0=2πf0).
xpt=a02+a1cosw0t+…+akcoskw0t+…+b1sinw0t+…+bksinkw0t+…=a02+k=1∞akcoskw0t+bksin(kw0t)

En forma exponencial:
xp=k=-∞k=∞Xs[k]exp⁡(jkw0t)
Se ha empleado la ecuación de Euler:e∓j∝=cos∝∓jsen∝

Se demuestra que:
Xsk=12(ak-jbk)
Calculo de los coeficientes:
xsk=1TTXp(t)exp⁡(-jkw0t)dt
Relación de Parseval:
Px=1TTX2pdt=k=-∞k=∞|Xs[k]|2
Queremos ampliar el concepto de series de Fourier a señales no periódicas. Podemos visualizar una señal no periódica como una señal continua de periodo infinito. El espaciado entre frecuencias se aproxima a 0 y es por tanto una función continua yla señal pasa a ser de potencia a señal de energía por lo tanto los coeficientes Xs[k] son 0. Ya no es un indicador del contenido espectral de la señal.
Se define la Transformada de Fourier de x(t) como: Xf=limn→∞T*Xs[k]=-∞∞x(t)exp(-j2πft)dt.
La relación entre las Series y la Transformada de Fourier: X(w) es la función envolvente de Xs[k]. Si muestreamos X(w) a intervalos f0, la funciónresultante es el espectro de una señal periódica de periodo T0=1f0.

2.2 LA FUNCION IMPULSO
Físicamente la función impulso está representada por un martillazo, un impulso eléctrico, etc. La función impulso se denomina función delta (δ) por la D de Dirac. La función impulso cuya área es uno, se denomina función impulso unitario o función delta de Dirac.
Un impulso de magnitud infinita y duración cerono ocurre en los sistemas físicos, sino que es una ficción matemática. Pero también es cierto que si la magnitud del impulso de entrada a un sistema es grande y con una duración muy breve en comparación con la constante de tiempo del sistema, esta entrada se puede considerar como una función impulso. Para darse una idea podemos observar los sistemas mecánicos que trabajan muchas veces bajo unafuerza externa de magnitud mayor que actúa sólo durante un periodo muy corto, otro ejemplo es, un relámpago puede hacer vibrar el ala de un avión. Por tanto estos fenómenos se comportan de la manera que en un intervalo mínimo de tiempo experimentan fuerzas muy grandes y a su vez esta fuerza se disipa instantáneamente.
Como definición podemos decir que la función impulso que tiende al infinitocuando se aproxima el valor a cero y se expresa de la siguiente manera:
δt-t0=lima→0δat-t0
Se caracteriza mediante las dos propiedades siguientes:
δt-t0={0 si t≠ t0∞ si t=t0} y 0∞δt-t0dt=1
La transformada de la función de Delta de Dirac se empieza en términos de la función escalón unitario:
δt-t0=12a[ut-t0-a-ut-(t0+a)]
Según la linealidad de la transformada de Laplace de esta expresión es:£δt-t0=12ae-st0-as-e-st0+as=e-st0(esa-e-sa2sa)
Puesto que se tiene la forma indeterminada cuando tiende a , aplicamos la regla de L´Hopital:
£δt-t0=lima→0£δt-t0=e-st0lima→0(esa-e-sa2sa)=e-st0

2.3 TEOREMA DE CORRIMIENTO
En ocasiones no es tan conveniente aplicar la propiedad de linealidad cada vez que se quiere hallar la transformada de Laplace de una función de f(t) por ese motivo se opta por usarotros teoremas que ahorran trabajo y tiempo, en estos casos si conocemos la L ft=F(s) podemos hallar la transformada de Laplace Leat ft solo trasladando o desplazando Fs a F(s-u). A este resultado lo podemos llamar primer teorema de traslación.
Primer teorema de traslación: L ft=Fsy a es cualquier número real, entonces: £eatft=Fs-a. Este primer teorema de traslación se conoce también...