Coordenadas cilindricas y esfericas

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Coordenadas Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distanciay dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimuth φ. Algunos autores utilizan la latitud, enlugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a −90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj ocontrarreloj, y de 0º a 360ª (0 a2 π en radianes) o de − 180º a +180º (-π a π).

Las operaciones de gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en función de las coordenadas esféricas se obtienenaplicando la regla de la cadena para funciones de varias variables. Por ejemplo, para la derivada parcial respecto de x, se obtiene el desarrollo:

[pic]

y, además,  reconociendo a los vectoresunitarios r, θ, φ en función de los vectores i, j, k. Procediendo de esta manera:

Gradiente de la función escalar f, es:

[pic]

la divergencia del campo vectorial F, es:

[pic]

el rotacionalde F, es:

[pic]

y el laplaciano de una función f, es:

[pic]

siendo Fr, Fθ y Fφ las componentes en coordenadas esféricas de F.

 
Coordenadas Cilíndricas

Las coordenadas cilíndricasson un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadascilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares dela geometría analítica plana.

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud...
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