Correccion de heterocedasticidad

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Prof. Rubén Santos Pérez Correción de la Heterocedasticidad en Stata 1. Mínimos Cuadrados Generalizados.

Modelos Econométricos

Si se supone que existe heterocedasticidad y no correlación serial, la matriz de varianzas-covarianzas de los errores estará dada por:

 12 0  2 0 2 Var u        0 0 

 0   0    2  n  

Además se puede suponer que  i2   2i , conlo cual se obtendrá:

 21 0  2 0  2 Var u       0  0 

 0  1 0  0   0  2  2        2   n  0 0 

 0  0    2Ω      n 

(1)

Al utilizar el método de Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG) se obtiene el estimador:
1 ˆ β  X' Ω 1X X' Ω 1Y





(2)

Dado que Ω es una matriz simétrica, su inversa también será simétrica; conesto:

Ω 1  P' P
Aplicando el resultado anterior a la ecuación (2), se obtiene:
1 ˆ β  X' P' PX  X' P' PY

(3)

Si se transforma las variables, se tendrá:

~ ~ 1 ~ ~ ˆ β MCG  X' X X' Y
El cual es el estimador de Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG). En donde

(4)

~ ~ X  PX y Y  PY
Nótese que este estimador es exactamente el mismo que se hubiera obtenido de laregresión de PY sobre PX utilizando el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Estas variables se obtienen transformando las variables originales Y y X . 1|Página

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De esta manera, premultiplicando el modelo lineal Y  X' β  u , por la matriz P , la cual satisface la ecuación (3), con lo que se obtiene:

~ ~ ~ Y  X' β  u
Donde

(5)

~ ~~ X  PX , Y  PY y u  Pu
Con lo cual se tiene que:

~ Var u  EPuu' P'   2 PP'   2 I
Si y sólo si

Ω  P 1 P' 

1

(6)

Es decir las variables transformadas en la ecuación (5) satisfacen las condiciones bajo las cuales el estimador de MCO es el Mejor Estimador Lineal Insesgado (MELI). Además:
1 ~ ~ 1 ˆ Var β MCG    2 X' X   2 X' Ω 1 X





2.Corrección de la Heterocedasticidad cuando se conoce la matriz Ω : Mínimos Cuadrados Ponderados (MCP). Una vez que se ha probado y que se ha encontrado la presencia de heterocedasticidad, el siguiente paso lógico es revisar la técnica de estimación para tomarla en cuenta. El estimador de MCG es
1 ˆ β  X' Ω 1X X' Ω 1Y





Si se supone que la matriz de varianzas-covarianzas de u , está dadapor (1), y además si se conoce la matriz Ω . Con lo cual:

    Ω 1  P' P       
Es decir

1

1
0  0

0 1

   

2
 0

 0   0      1  n   

1

1
0  0

0 1

   

2
 0

 0   0      1  n  

(7)

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    P     

1

1
0  0

0 1   

2
 0

 0   0      1  n  

(8)

De esta manera, el estimador de MCG se obtiene de la regresión de

    PY       

Y1     1   Y2    sobre PX   2      Yn     n  

1

X 12

1
1

1
X 22

   

1
 1

2
 X n2

1

1

X 1K  1   X 2K  1     X nK  n  

Tomando el elemento i-ésimo, seobtiene el modelo transformado

Yi

i



X X u 1   2 i 2     K iK  i i i i i

(9)

La aplicación de Mínimos Cuadrados Ordinarios al modelo transformado, da como resultado el estimador de Mínimos Cuadrados Ponderados (MCP).
n  n  ˆ  (10) β   wi x i x   wi x iYi  i  i 1   i 1  Donde wi  1 / i y x i es el renglón i-ésimo de la matriz X . La lógica delcálculo es que las observaciones 1

con menor varianza reciben una mayor ponderación en los cálculos de las sumas y por tanto tienen una mayor influencia en los estimados obtenidos. 3. Ejemplo 1. Para este ejercicio utilizaremos el archivo rents.dta. Se vio que el modelo

rentai   0  1ingresoi  ui
Presenta problemas de heterocedasticidad. Además, se vio que

(11)

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