Crecimiento poblacional - aplicación de edos

Facultad
de
Ciencias
 Físicas
y
Matemáticas
 Universidad
de
Chile



 
 
 






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



 
 
 
 
 Tarea
N°1:
Ecuaciones
Diferenciales
Ordinarias
 
 
 
 Profesor:
A.
Felipe
Macias.
 Auxiliar:
Rodrigo
Barrera.
 
 Alumnos:

 ‐Raimundo
Cirano
R.
 ‐
Pierre
Mariani
R.
 
 
 
 Fecha
de
Entrega:
8
de
Septiembre.


Introducción:
 
En
este
trabajo
se
aproximará
numéricamente
un
modelo
logístico
definido
mediante
una
 Ecuación
Diferencial
Ordinaria
(EDO),
se
buscará
una
aplicación
al
modelo
en
estudio
y
se
 aproximaran
sus
valores
a
través
de
métodos
numéricos
vistos
en
clases
de
cátedra
para
 posteriormente
graficar
sus
resultados
y
analizar
su
comportamiento.

 Además
 de
 analizar
 dicho
 modelo,
 se
 estudiará
 también
 cada
 uno
 de
 los
 métodos
numéricos
y
se
verán
sus
respectivos
errores
asociados.
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Planteamiento
y
motivación:
 
 El
modelo
a
analizar
es
el
caso
de
un
modelo
logístico
de
crecimiento
poblacional,
en
 donde
se
encuentran
sus
mayores
aplicaciones
en
el
área
de
la
ecología.
Sin
embargo
 se
 analizará
 una
 aplicación
 en
 el
 área
 de
 la
 medicina,
 en
 donde
 se
utilizan
 las
 ecuaciones
logísticas
diferenciables
para
modelar
el
crecimiento
de
tumores.
Para
este
 caso
el
 X '(t) 
representa
el
tamaño
del
tumor
en
un
instante
t
(o
dicho
de
otra
manera,
 la
población
de
células
cancerosas).
 
 dX X⎞ ⎛ X' = = σX ⎜ 1 − ⎟ − c(t) 
 
 ⎝ dt K⎠ 
 
 En
 donde
 σ 
 representa
 la
 tasa
 de
 crecimiento
 de
 X
 en
 una
 unidad
 de
 tiempo
 y
 K
 la
población
con
la
que
el
medio
se
satura
(K
se
denomina
también
como
“capacidad
de
 carga”),
en
este
caso
el
medio
es
el
organismo
en
donde
crece
este
tumor.
 Interpretando
 la
 ecuación
 anterior
 se
 tiene
 que
 el
 valor
 dado
 por
 σX 
 representa
 el
 crecimiento
 sin
 impedimentos
 o
 trabas,
 mientras
 que
 el
 factor
 σ X 2 K ,
 de
 manera
 análoga
 a
 los
 casos
 analizados
 para
 la
 ecología,
 modela
 la
“competencia”,
 la
 cual
 se
 hace
 más
 grande
 que
 el
 primer
 término
 a
 medida
 que
 crece
 el
 tumor
 actuando
 de
 forma
 negativa,
 a
 lo
 cual
 se
 le
 denomina
 “cuello
 de
 botella”
 y
 está
 modelado
 por
 el
 valor
 del
 parámetro
 K.
 Si
 se
 inicia
 una
 quimioterapia
 con
 un
 efecto
 contrario
 al
 crecimiento
del
tumor
tenemos
que
 c(t)
muestra
el
rango
de
mortandad
inducido
por
 la
quimioterapia.
 
 Luego,
dividiendo
por
K
en
ambos
lados
queda:
 
 
 d X X⎛ X⎞ X 
 
 = σ ⎜ 1 − ⎟ − c(t) (1) 
 
 ⎝ ⎠ dt K K K K 
 
 NOTA:
 Otra
 forma
 de
 llegar
 a
 la
 ecuación
 (1)
 sin
 hacer
 cambio
 de
 variable
 sería
 tomando
 K=1,
 lo
 cual
 concuerda
 con
 los
 resultados
 que
 se
 obtendran
 más
 adelante
 durante
el
análisis.
 
 En
 el
 caso
 “idealizado”
 de
 una
 terapia
 prolongada
 se
tiene
 que
 c(t) es
 una
 función
 periódica
(de
periodo
T)
o
puede
ser
tratada
como
una
función
constante
(en
el
caso
 de
una
terapia
de
infusión
continua)
en
donde
queda:
 
 
 1 T c(t)dt > σ ⇒ lim x(t) = 0 
 
 t →+∞ T 0 
 
 Es
decir,
 el
rango
 de
 mortalidad
 inducido
por
la
quimioterapia
es
mayor
que
tasa
de
 proliferación
del
tumor.
 
 NOTA:
 Este
 es
 un
 modelo
 simplificado
 ya
 que
 no
considera
 fenómenos
 como
 la
 resistencia.
 
 Finalmente
haciendo
el
cambio
de
variable
 y = X K en
(1)
tenemos:
 
 
 
 y' = σy (1 − y ) − c(t) 
 
 
 
 
 


∫


 Análisis:
 
 b)
 Sea







 y' = σy(1 − y) + f (t) 
























































con
 t ∈[ 0, L ] ;






 y(0) dado.


Primero
 se
 discretiza
 el
 intervalo
 [ 0, L ] 
 con N + 1 puntos
 t n con
 un
 paso
h = N L .


Luego
se
calculan
las
fórmulas
de
recurrencia
para
la
sucesión
aproximante
 yn ≈ y(t n ) 
 usando
los
métodos
de
Euler
progresivo,
Euler
retrógrado
y
de
Heun.
 
 
 b.1)
Método
de
Euler
Progresivo:
 
 Se
tiene
que:

 y −y 
 y'(t n ) = f ( t n , y(t n ))  f ( t n , yn ) = n +1 n 
 

 h con:
 y −y 
 yn ' = n +1 n 
 

 h luego
como

 
...