Criterio De Estabilidad De Routh 1

Criterio de estabilidad de RouthHurwitz y lugar geométrico de raíces

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INTRODUCCIÓN
En este capítulo se estudia el tema de la estabilidad absoluta de los sistemas de control con
el método de Routh-Hurwitz y el lugar geométrico de raíces (LGR), método que es una
poderosa herramienta para el diseño de sistemas de control. El LGR tiene una multitud de
variantes, que van desde el ajuste de gananciapara satisfacer especificaciones de diseño,
estabilidad relativa, etcétera, hasta lo que se denomina “contorno de raíces”.

Contenido
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Arreglo de Routh-Hurwitz y estabilidad absoluta.
Casos especiales y cálculo de rangos de ganancias para los cuales los sistemas en lazo
cerrado son estables.
Concepto de LGR y método de Evans.
Aplicaciones: diseño de sistemas mediante LGR, sistemascon retroalimentación unitaria
y no unitaria, así como respuesta en tiempo para lazo cerrado.
Estabilidad relativa (márgenes de ganancia y fase).
Variación de parámetros distintos a la ganancia
Problemas.
Referencias del capítulo 6.

Objetivos
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Definir el criterio de estabilidad absoluta de Routh-Hurwitz.
Determinar el rango de valores de ganancias para los cuales los sistemas sonestables.
Definir el concepto de LGR y enfatizar en el método de Evans.
Aplicar el concepto de LGR en sus muy diversas modalidades.

INTRODUCCIÓN
Para sistemas retroalimentados, que se representan por sus respectivas funciones de
transferencia de lazo cerrado
el hecho más importante se relaciona con las ecuaciones
características asociadas a
y consiste en determinar si el sistema bajo consideración esestable, esto es, si sus polos de lazo cerrado están localizados en el semiplano izquierdo del
plano
En cuanto a los polinomios característicos, se puede establecer que los sistemas de primero
y segundo grados siempre serán estables en lazo cerrado; sin embargo, a partir de
ecuaciones características de tercer grado, los sistemas pueden ser o no estables, lo cual
depende de la ubicación en elplano s de los respectivos polos de lazo cerrado de cada
configuración en particular.
Una primera alternativa para establecer la estabilidad de un sistema consiste en aplicar el
método de Newton-Raphson al polinomio característico bajo consideración, con lo que se
determinaría la posición de los polos de lazo cerrado.
Como segunda opción, con octave es posible obtener las raíces de cualquier polinomiode
grado (Evaluación de raíces con el comando
).
Existe una tercera opción, la cual, aunque no señala la posición de los polos de la ecuación
característica bajo consideración, indica el número de raíces características que se localizan
a la derecha del plano Esto se conoce como método de Routh-Hurwitz.

MÉTODO DE ROUTH-HURWITZ
En la década de 1890, A. Hurwitz y E. J. Routh publicaron, en formaseparada, un
procedimiento numérico para determinar la estabilidad de un sistema a partir de su
ecuación característica
Este método es un arreglo numérico que tiene como objetivo determinar el número de
raíces de un polinomio característico que estén en el semiplano derecho del plano s.
Por eso, al procedimiento de Routh-Hurwitz se le denomina método de estabilidad absoluta,
ya que el resultado noindica la posición específica de los polos, como en el caso de los
distintos métodos de evaluación de raíces de polinomios; sin embargo, aún en la actualidad
es una herramienta de suma importancia, pues es posible establecer el rango de valores de
ganancia ajustable para los cuales los sistemas de lazo cerrado son estables.
El primer paso para determinar la estabilidad absoluta de un polinomiocaracterístico
es representarlo en su respectivo arreglo de Routh-Hurwitz.
Sea el polinomio característico de grado

Para comenzar el arreglo, se procede a escribir una columna de términos en iniciando con
la potencia de mayor grado
y de ahí en orden descendente hasta llegar al término
independiente
; a continuación se distribuyen en el arreglo los coeficientes
en pares de dos en dos, según se...