Cálculo 3

Páginas: 17 (4228 palabras) Publicado: 10 de octubre de 2012
Teoremas Integrales del An´ lisis Vectorial


´
Indice
1. Integral de L´nea
ı
1.1. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2

2. Teorema del cambio de Variables
2.1. Para integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Para integrales triples .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. L´mites de integraci´ n en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı
o

4
4
4
4

3. Teorema de Green
3.1. Terminolog´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı
3.1.1. Curva cerrada y simple . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Una curva cerrada queno es simple . . . . . .
3.1.3. Una curva cerrada y simple orientada positiva .
3.1.4. Una curva cerrada y simple orientada negativa
3.2. El Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Hip´ tesis del Teorema de Green . . . . . . . .
o
3.2.2. Tesis del Teorema de Green . . . . . . . . . .
3.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5
5
5
6
6
7
7
7
10

4. Teorema de Gauss
4.1. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
16
16

5. Teorema de Stokes
5.1. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.

Integral de L´nea
ı

Teorema 1 Sean f : A ⊂ Rn → R, un campo escalar de clase C 1 y σ : [a, b] → A un camino C 1 a trozos. Entonces,
σ

f · dS = f (σ (b)) − f (σ (a))

∴ Si F : A ⊂ Rn → Rn es un campo vectorial gradiente de f (con f unafunci´ n potencial de F), entonces
o
b
σ

F · ds =

a

F · ds = f (p) − f (q )

con p = σ (b) y q = σ (a).
Teorema 2 Sea A un abierto de Rn y F : A → Rn un campo vectorial continuo. Las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
1. F es un campo gradiente, es decir, existe una funci´ n potencial f : A → R de clase C 1 talque F =
o
σ

F · ds = 0 para todo camino cerrado

σ

f

F· ds es independiente del camino σ (trayectoria)

2.
3.

4. ∀ i, j = 1, . . . , n se tiene

∂ Fj
∂ Fi
=
∂xi
∂xj

De un campo F que satisface una de estas propiedades (y por lo tanto todas) se dice que es un campo conservativo.

1.1.

Trabajo

Definici´ n 3 El trabajo realizado por el campo de fuerzas F aplicado sobre una part´cula que se mueve a lo largo de
o
ı
una trayectoriaσ : [a, b] → R3 , est´ dado por
a
b

Trabajo realizado por F := W =

a

F(σ (t)) · σ (t)dt

Ejemplo 4 Hallar el trabajo realizado al desplazar un cuerpo a lo largo de la curva xy + z 2 = 3 que pasa por (1, 2, 1)
√
y (2, 0, 3) en el campo de fuerzas dado por
F = (6xy + z 3 )i + (3x2 − z )j + (3xz 2 − y )k
Ejemplo 5 Dado el campo de fuerzas
F(x, y, z ) = (2x + 2y, 2x, 3z 2 )...
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