Cálculo De Probabilidades

Cálculo de Probabilidades II Elementos de cálculo de probabilidades I Definición.- Un experimento aleatorio ε (EA) es aquel cuya salida no podemos predecir. Ejemplos: volados, llamadas a un conmutador, nivel del Dow Jones.

Definición.- Se define el espacio muestral Ω (EM) al conjunto de todas las posibles salidas del experimento aleatorio ε. Ejemplos: Ejemplos: 1. ε=lanzamiento de 2 dados dedistinto color Ω={11, 12,…, 56, 66} E1={11, 12, 21}={la suma menor que 4} E2={el máximo fue 6}={16, 26,…, 66} 2. ε=seleccionar al azar una casa habitación de la colonia Tizapán Ω={consumo promedio de energía eléctrica mensual} E1={consumo menor que 500 kw/hr} E2={consumo entre 1,000 y 1,500 kw/hr} 3. ε=llamadas a un conmutador Ω={0, 1, 2,…} E1={0} E2={2, 4, 6,…} E3={101, 102,…} En los ejemplosanteriores, los subconjuntos Ei son llamados eventos y nos preguntamos por la ocurrencia o no de dichos eventos. Decimos que E⊆Ω ha ocurrido si ε → ω∈E Antes del EA hay incertidumbre sobe la ocurrencia del evento E. Después del experimento la incertidumbre se ha convertido en información. La probabilidad es una manera de medir la incertidumbre o información. Definición.- Sea ε un EA y Ω su EMcorrespondiente, sea �� una familia de subconjuntos de Ω tal que: i) Ω ∈ S ii) Si A ∈ S, entonces Ac ∈ S (cerrada bajo complemento) iii) Si A1 , A2 ,…∈��, entonces ∞ Ai ∈�� (cerrada bajo uniones numerables) i=1 �� se dice que es una ζ-álgebra de subconjuntos de Ω Ω={águila, sol}, Ω={0, 1, 2,…}, Ω=ℝ

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Cálculo de Probabilidades II Ejemplos: 1. La ζ-álgebra más péquela de subconjuntos de Ω es ��={∅,Ω} 2. Si Ω= ω 1 ,…, ω n �� =P Ω =2Ω es una álgebra 3. Si Ω= ω 1 ,… �� =P Ω es una ζ-álgebra 4. Si Ω=ℝ no es posible construir ζ-álgebras que contengan a todos los subconjuntos de ℝ. Sin embargo ��=ℬ ℝ que es la familia generada por uniones e intersecciones de intervalos abiertos, cerrados o semiabiertos, forma ζ-álgebra llamada conjuntos Borelianos de ℝ. Definición.- Una medida de probabilidad Psobre una ζ-álgebra S de subconjuntos del EM Ω es una función real tal que: i) P(Ω)=1 ii) P(B)≥0, ∀ B∈�� iii) B1 , B2 ,… ∈ �� Bi ∩Bj =∅, entonces P ∞ Bi = ∞ P(Bi ) (ζ-aditividad) i=1 i=1 Definición.- (Ω, ��, P) es un espacio de probabilidad (EP). Definición.- Sea (Ω, ��, P) un EP, B ∈ �� tal que P(B)>0 se define P(A∩B) PB A = P(B) ∀ A∈�� PB es una medida de probabilidad: P(Ω∩B) P(B) 1. PB Ω = P(B) =P(B) =1 2. PB A = PB
P(A∩B) P(B)

≥0
P( Ai ∩B)

3. A1 , A2 ,… ∈ �� Ai ∩Aj =∅, ∀ i≠j Ai =
P(B)

=

P(

(Ai ∩B))

P(B)

=

P(Ai ∩B) P(B)

Definición.- PB se le dice la probabilidad condicional dado que ocurrió en evento B y se denota comúnmente: PB(A)=P(A | B) Regla de la multiplicación Sean A, B∈�� y supongamos que P(B)>0, entonces P(A∩B)=P(A | B) P(B)

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Cálculo deProbabilidades II Definición.- Sean B1 , B2 ,… ∈�� tales que: i) Ω= ∞ Bi i=1 ii) Bi ∩Bj =∅ ∀ i≠j {Bn} se le conoce como una partición (infinita) del EM Ω Teorema de probabilidad total P(A)= P A Bi ) P(Bi ) Regla de Bayes P(Bj | A)=
P(A ∩ Bj ) P(A)

=

P A Bj ) P(Bj ) P A Bi ) P(Bi )

P(a | Bk)=P(A) ⇒ A y Bk son eventos independientes. Definición.- A1 , A2 ,… ∈��, se dicen mutuamenteindependientes si ∀ k e índices i1 ,…, ik : P Ai1 ,…, Aik =P Ai1 ∙∙∙P Aik Proposición.- Eventos mutuamente independientes son independientes a pares pero no viceversa. Definición.- Sea (Ω, ��, P) un EP, una variable aleatoria (v.a.) sobre el EP es una función real X: Ω → ℝ tal que ∀ x∈ℝ ω ∈ Ω: X ω =x ∈�� Nota: en matemáticas (teoría de la medida) funciones como la anterior se dice que son ��-medibles. Laζ-álgebra generada por los intervalos semiabiertos [a, b) son los conjuntos de Borel y los denotamos por ℬ ℝ . En este caso las v.a.’s son funciones Borel-medibles. Definición.- Sea F una función real F: ℝ → ℝ tal que: i) 0≤F(x) ≤1 ∀ x∈ℝ ii) x≤x’ ⇒ F(x) ≤F(x’) iii) F(-∞)=0 F(∞)=! iv) F(x+)=F(x) ∀ x F(x+)=limh→0 F(x+h) F que satisface (i)-(iv) se dice que es una función de distribución. Definición.-...