De todo un poco

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ESPACIOS VECTORIALES: OBJETIVO: Reconocer la Estructura de Espacio Vectorial y utilizar sus propiedades. 1)DEFINICIÓN: Un espacio vectorial sobre el cuerpo K consiste en un conjunto V ≠ φ, sobre el cual están definidas dos operaciones denotadas por: "+" adición de vectores "." Multiplicación de escalar por vector Las cuales satisfacen los siguientes axiomas: i)

∀x , y ∈ V ; x + y ∈ V
Esdecir +: VxV→ V, es una L.C.I ( x,y)→x+y

ii)

∀α ∈ K y ∀x ∈V , αx ∈ V
Es decir K x V →V, es una L.C.E ( α ,x) → αx

iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) x)

Para cualesquiera x,y,z, en V se cumple ( x + y ) + z = x + (y + z ). Para cualesquiera x,y en V se cumple x + y = y + x. Existe un elemento 0 en V tal que x + 0 = x para cualquier x en V. Para cada x en V, existe un elemento x' en V talque x +x´ = 0 Para cualquier α , β ∈ K y cualquier x en V se cumple ( α + β ) x = α x + β x Para cualquiera α , β ∈ K y cualquier x en V, se cumple α ( β x ) = (αβ ) x Para cualquier α ∈ K y cualquier x en V, se cumple α (x+y ) = α x + α y Para cualquier x en V se cumple 1x=x

Observaciones: a) A los elementos de V se les llama vectores y a los elementos de K escalares. b) La ley de composicióninterna en V es llamada adición de vectores y la ley de composición externa es llamada multiplicación de escalares por vectores. Las leyes de K son llamadas la adición y la multiplicación de escalares c) El hecho de que + sea una L.C.I en V, nos afirma que: si x = y y z = w, entonces x + z = y + w d) El hecho de que " ." sea una L.C.E en V con escalares K nos afirma que: si α = β y x =y, entoncesα x = β y. e) Al elemento 0 de la condición (v) se le llama el vector nulo y para cada x en V al elemento x´ de la condición (vi) se le llama el vector opuesto de x, y se denota por –x. f) Para cada par de vectores x e y de V al vector x+(-y) se le llama la diferencia de x e y y se denota x-y. g) Las condiciones (i), (ii), (iii) y (iv) nos afirma que el par ordenado (V,+) es un grupo abeliano conneutro 0. h) Para todo x,y,z ∈ V si x+y = x+z, entonces y =z.

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i) Es importante resaltar que estamos usando un símbolo "+", para denotar dos leyes distintas, la adición de K y la adición de V. j) Algunos autores para indicar las leyes definen espacio vectorial como un cuarteto ordenado (V, + , K, ·) k) Por lo general se llama espacio vectorial al conjunto V y se supone que las operacionesson las usuales y el cuerpo R. En caso contrario deben indicarse. EJEMPLOS: 1. (R , +, R, .) es un espacio vectorial, donde R son los pares ordenados de números reales sobre el cuerpo de los números reales. "+" es la suma usual de pares ordenados y "." el producto usual de escalar por par ordenado. 2. (R, +, R, .) es un espacio vectorial. 3. V={0} es el espacio vectorial trivial 4. V= { } con lasoperaciones adición y multiplicación usual, no es un espacio vectorial, sobre R 1 5. Sea V el conjunto de todos los puntos en R2 que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen, con la adición usual y el producto usual, de un escalar por un par ordenado: V= ( x, y ) ∈ R / y = mx,.....m ∈ R .
2
2
2 2

{

}

V es un espacio vectorial.

6. El conjunto de puntos de R que seencuentra en una recta que no pasa por el origen no constituye un espacio vectorial. 7. (P 3 , + R, .) es un espacio vectorial, P 3 es el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a 3, con coeficientes reales, "+" adición usual de polinomios y “.” es la multiplicación usual de un número real por un polinomio. 8. El conjunto de matrices invertibles nxn no forma un espacio vectorial, con lasoperaciones usuales adición y multiplicación por escalar 9. El conjunto V=R , K=R es un espacio vectorial. 10. (F,+,R,.) donde F es el conjunto de todas las funciones f : D → R conjunto no vacío)
mxn

( D es cualquier

Propiedades: En cualquier espacio vectorial V sobre un cuerpo K se verifica: a) El vector nulo es único. b) El opuesto de cada vector es único c) Todo elemento de V es cancelable...