de todo

INGENIER´ VESPERTINA EN
IA
´
AUTOMATIZACION INDUSTRIAL

APUNTE No 1

´
CALCULO EN VARIAS VARIABLES

´
MATEMATICA II

PROFESOR

RICARDO SANTANDER BAEZA

2004

Ricardo Santander Baeza

Universidad de Santiago de Chile

1

Derivadas Parciales

1. Introducci´n
o

(1) El ambiente de trabajo ser´ el conjunto llamado espacio euclidiano n dimensional
a
descrito a trav´sdel conjunto
e

(1)

Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xi ∈ R (1 ≤ i ≤ n)}

En particular:
• Si n = 1 tenemos que R1 = R es la recta real.
R+

R−
Reales negativos

O

Reales positivos

R

Figura 1
Es decir,
R+ = {x ∈ R | x > 0}
R− = {x ∈ R | x < 0}
• Si n = 2 tenemos que R2 = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R} es el Plano Cartesiano.

• P = (x, y)

(0, y)
(0, 0)

(x, 0)

Figura2

R

2

Ricardo Santander Baeza

Universidad de Santiago de Chile

• Si n = 3 tenemos que R3 = {(x, y, z) | x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R} es el Espacio
eucl´
ıdeo tridimensional.
z
• P = (x, y, z)

y
•
x

(x, y, 0)

Figura 3

(2) consideremos el c´
ırculo S: x2 + y 2 = 1 cuyo gr´fico es de la forma.
a
Eje y

O

Eje x

Figura 4

(3) Ahora consideremos el siguiente gr´fico.a
z

y

x

Figura 5

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Universidad de Santiago de Chile

3

Entonces el cilindro recto tiene por ecuaci´n x2 + y 2 = z 2 , es decir para cada
o
valor de z tenemos un c´
ırculo de radio z. As´ que las figuras en el plano adquieren
ı
volumen en el espacio copiandolas continuamente una cantidad dada h > 0.
(4) Otro ejemplo cl´sico es el cono y se obtienecomo:
a

z

y
x
Figura 6

2. Funciones de varias variables

2.1. Definici´n y ejemplos.
o
Definici´n 2.1.1. Sea R ⊂ R2 , es decir R es una regi´n del plano R2 o plano xy. Dio
o
remos que f es una funci´n de dos variables reales si a cada punto P = (x, y) ∈ R asocia
o
un unico punto f (P ) = f (x, y) ∈ R.
´
Notaci´n:
o
(2)

f

: R
−→ R
(x, y) −→ f (x, y)

Ejemplo 2.1.2.Si z = f (x, y) = −x − y + 1 entonces tenemos que su gr´fico es de la
a
forma:
Graf (f ) = {(x, y, z) ∈ R3 | z = f (x, y) = −x − y + 1}
= {(x, y, −x − y + 1) | (x, y) ∈ R2 } ⇐⇒ {(x, y, z) ∈ R3 | z + x + y − 1 = 0}

4

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Universidad de Santiago de Chile

As´ que f tiene como gr´fico un plano:
ı
a

z

y

x

Figura 7

Ejemplo 2.1.3.
1
0.8
0.6
0.4
0.20
−0.2
−0.4
200
200

150
150

100
100
50

50
0

0

Definici´n 2.1.4. Sea R ⊂ Rn , es decir R es una regi´n del espacio Eucl´
o
o
ıdeo Rn . Diremos que f es una funci´n de n variables reales si a cada punto P = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R
o
asocia un unico punto f (P ) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R.
´
Notaci´n:
o

(3)

f

: R
−→ R
(x1 , x2 , . . . , xn ) −→ f (x1, x2 , . . . , xn )

Ejemplo 2.1.5. Si f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1 entonces podemos observar lo siguiente:
• f (x, y, z) = 0 ⇐⇒ x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 ⇐⇒ x2 + y 2 + z 2 = 1. En s´
ımbolos
ponemos que:
f −1 (0) = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1}
Concluimos entonces que a la esfera centrada en el origen y de radio 1,
S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1}

Ricardo SantanderBaeza

Universidad de Santiago de Chile

Esta funci´n la transforma en un punto, en este caso el cero (0)
o
• Un poco m´s general.
a
f (x, y, z) = a ∈ R ⇐⇒ x2 + y 2 + z 2 − 1 = a ⇐⇒ x2 + y 2 + z 2 = a + 1

En s´
ımbolos ponemos que:

f −1 (a) = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = a + 1}
La conclusi´n en este caso debe ser un tanto m´s exhaustiva, pues
o
a
x2 + y 2 + z 2 ≥ 0 (∀(x,y, z) : (x, y, z) ∈ R3 ) =⇒ a + 1 ≥ 0
En tal caso el conjunto:
(4)

Sa = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = a + 1, (a ≥ −1)}
Es una esfera centrada en el origen y radio

√

a+1

Es decir,
f −1 (a) =

Sa
∅

: a ≥ −1
: a < −1

2.2. Ejercicios Propuestos.

(1) Bosqueje el gr´fico de las funciones de dos variables:
a
• f (x, y) = x
Soluci´n
o

5

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