De todo

VARIABLES SEPARABLES
Definición. Se dice que una E.D. de la forma:

dy h( x)

dx g ( y )

(1.1)

es separable o de variables separables.
La anterior ecuación se puede escribir como deforma diferencial como:
g ( y)dy  h( x)dx

(1.2)

Método de solución
Por integración de la ecuación (1.2) se puede obtener la solución general de la ED (1.1)

 g ( y)dy   h( x)dx
G ( y )  H( x)  C

Obteniéndose así una familia uniparamétrica de soluciones.
La constante de integración o parámetro C, a veces es conveniente representarla de otra manera,
por ejemplo, múltiplos deconstantes o logaritmos de constantes o exponenciales de constantes o
si aparecen varias constantes reunirlas en una sola constante.
Ejemplo 1. Resolver la ED

(2 xy  x)

dy y

dx x

Porseparación de variables

dy

dx
dy
x(2 y  1) 
dx
2 y 1
dy 
y

(2 xy  x)

Integrando, se tiene la solución general

y
x
y
x
dx
x2



1

dx

  2  y  dy   x

2

1
2 y  ln y    C
x
1
2 y  ln y   C
x
(1  sin x)

Ejemplo 2. Resolver la ED

dy
 cos(2 y) con y    0
dx

Separando variables

dy
1

dx
cos(2 y ) 1  sin xUsando identidades trigonométricas antes de integrar

dy
1  1  sin x 


 dx
cos(2 y ) 1  sin x  1  sin x 
1  sin x
sec(2 y )dy 
dx
1  sin 2 x
1  sin x
sec(2 y )dy 
dx
cos 2 x1 sin x 
 1
sec(2 y )dy  

 dx
2
 cos x cos x cos x 

 sec(2 y)dy    sec

2

x  sec x tan x  dx

La solución general es:

ln  sec(2 y)  tan(2 y)   tan x  sec x  C1
2

Cuando x   , y  1
1
2

ln  sec(0)  tan(0)   tan   sec   C
1
2

ln(1  0)  0  1  C
C 1

La solución particular es:
1
2

ln  sec(2 y)  tan(2 y)   tan x  secx  1

Actividad. Resuelve los siguientes ejercicios por el método de separación de variables.
1.

dy
 y 2 cos x  0
dx

2. 2e2 x y3dx  (1  e2 x ) y 2 dy  0
3. x 4 y  y  xy si...