Definicion de funcion vectorial de una variable real

Curvas en el espacio y funciones vectoriales En la sección de curvas paramétricas definimos una curva C en el plano como un conjunto de pares ordenados (f (t), g (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) e y = g (t); donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. esta definición admite una extensión natural al espacio tridimensional, como sigue. Una curva C en el espacioes un conjunto de tripletas ordenadas (f (t), g (t), h (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) , y = g (t) y z = h (t)

Donde f , g y h denotan funciones continuas de t en un intervalo I. Antes de ver algunos ejemplos de curvas en el espacio, introduciremos un nuevo tipo de funciones, las funciones vectoriales. Aplican los números reales en vectores, es decir, son funciones convalores vectoriales. DEFINICIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Se llama función vectorial a cualquier función de la forma

r(t) = f(t)i + g(t)j r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

Plano Espacio

donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por: r(t) =

r(t) =

Debe quedar clara la distinción entre lafunción vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t). Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva.Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t. Salvo que se especifique otracosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo el dominio de:

es el intervalo (0, 1] (Trazado de una curva en el plano)

r t   ln t i  1  t j  tk

EJEMPLO 1: Dibujar la curva representada por la función vectorial

r t   2 cos ti  3sentj
Solución:

0  t  2

(Tazado de una curva en elespacio) EJEMPLO 2: Dibujar la curva representada por la función vectorial

r t   4 cos ti  4sentj  tk
Solución:

0  t  4

Esto significa que la curva está en un cilindro circular recto de radio 4, centrado en el eje z. Para localizar la curva en ese cilindro podemos usar la tercera ecuación paramétrica z = t. Obsérvese, en la figura de la pizarra, que cuando t crece de 0 a 4π el punto(x, y, z) se mueve en espiral hacia arriba, describiendo una hélice

3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t.

3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades. La definición de la derivada de una función vectorial imita la de las funciones con valores reales. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

r ´ t   lím
t 0

r t  t   r t  t

Paratodo t en que el límite exista. Si r´(c) existe, se dice que r es derivable en c. Si r´(c) existe para todo c en el intervalo abierto, se dice que r es derivable en el intervalo I. La derivavilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados, considerando límites laterales.

Aparte de la notación anterior se emplean otras notaciones para representar la derivada de una funciónvectorial. tal como se muestran a continuación:

Dr t ,

d r t , dr dt dt

La derivación de funciones vectoriales puede efectuarse componente a componente. Para convencerse de ello, basta considerar la función:

r t   f t i  g t  j

y aplicar la definición de derivada, con lo que se obtiene:

Derivadas de orden superior EJEMPLO 7: Para la función vectorial r (t) =...