Definicion de teoria de conjuntos

Definición en teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo unabiyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente doselementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente,un conjunto x se dice que es un número natural si cumple
1. Para cada ,
2. La relación es un orden total estricto en x
3. Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en elorden
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácilya que sabemos que no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.
Se define entonces que el conjunto vacío es un númeronatural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n + . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:


De esta manera, cada elementode algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:
• Por definición 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
• 1 es el sucesor de 0,entonces
• 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces
• y en general




Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es pornaturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión

es decir que un número a es menor o igual que b si y sólo si b contiene a todos los elementos de...