Definición de integral

En la clase vimos un ejemplo de la resoluci´n de integrales mediante la definici´n o o de integral. Recordemos que la definici´n de integral es la siguiente: o
b n

f (x)dx = l´ ım
a

n→∞

f(x∗ )∆x i
i=1

donde f (x) es la funci´n que deseamos integrar, a y b son los l´ o ımites de integraci´n, ∆x es el ancho de los n subintervalos y x∗ son los puntos muestra dentro o i de cadasubintervalo. En la clase resolvimos la siguiente integral mediante la definici´n. o
3

(x3 − 6x)dx
0

Para poder resolver las integrales mediante este m´todo, necesitamos encontrar e tanto el ancho decada subintervalo (∆x) como los puntos de muestra x∗ . El i ancho de los intervalos es muy f´cil de encontrar ya que es igual a: a ∆x = que en nuestro ejemplo ser´ igual a: ıa 3−0 3 = n n Respecto a lospuntos de muestra x∗ existen tres formas de tomarlos. La primera i es considerar puntos extremos derechos, tambi´n podemos considerar puntos e extremos izquierdos y finalmente, puntos a la mitad decada subintervalo. En el ejemplo de clase consideramos puntos extremos derechos, tal y como se pide en la serie y en el ex´men. a Considerando puntos extremos derechos, es f´cil observar que cuandoestamos a parados en el l´ ımite inferior, es decir x0 , el valor de x es cero ya que el valor del l´ ımite inferior de la integral es cero. Si nos movemos hacia el siguiente subintervalo, es decir x1 , elvalor de x ser´ 3/n. Si nos movemos al siguiente a subintervalo, es decir x2 , el valor de x ser´ 6/n. Si continuamos este procedia miento, es decir, movi´ndonos a los puntos extremos derechos de losn intervalos e podemos deducir que el valor de cada x, es decir xi , ser´ de: a ∆x = 3i n Una vez que calculamos tanto ∆x como x∗ , ya podemos resolver la integral i mediante su definici´n. o xi =
3n

b−a n

(x − 6x)dx = l´ ım
0

3

n→∞ n

i=1

3i n

3

−6

3i n

3 = n

3 n→∞ n l´ ım

i=1

27i3 18i − n3 n 1

=

n→∞

l´ ım

81 n4

n

i3 −
i=1 2

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