Deformaciones viga conjugada

Deformaciones
Estructura Conjugada (Analogía Estático Geométrica)

Deformaciones
• Analogía estático geométrica
– Este método se basa en un procedimiento de cálculo de las deformaciones que sólo considera argumentos de tipo geométrico. – Como estos argumentos son difíciles de manejar, es que se ha hecho una analogía ESTÁTICO – GEOMÉTRICA, que conduce a la resolución de los problemas –Consideraremos tres problemas en orden creciente de dificultad

a. Geometría de los desplazamientos de una barra rígida y plana
– Considérese una barra rígida “ab” que rota en torno a “a” llegando a una nueva posición “ab’” a través de un ángulo ΔΦ0,

– El giro que experimenta la tangente en “b” y los desplazamientos de este punto son:   
b 0

1  b  2 R  sen 0  2  1 1   1   xb  b  sen  0   2 R  sen 0   sen  0  2 2   2    1 1   1    yb  b  cos  0   2 R  sen 0   cos  0  2 2   2   

Como siempre si ΔΦ es pequeño podemos escribir:
1  1 sen 0   0 2  2 1 y   sen  0   sen  2 R   1 x   cos  0   cos   2 R   Luego b  R0 y xb  b  y0 R x yb  b  x0 Rb. Geometría de los desplazamientos de una barra semi – rígida y plana sujeta a deformaciones en los extremos
– Considérese una barra “Ob” que experimenta un rotación ΔΦ0 en torno a un eje perpendicular por O, y cuyo arco Oc cambia a Oc’ a través de una elongación Δs0

– De acuerdo a lo deducido anteriormente, el giro y los desplazamientos del punto “b” son:

 b  0 xb  y0  s0 cos 0 yb  x0  s0 sen 0

Analogía Estática
• Consideremos la misma barra Ob, la cual está sometida a una fuerza F0 en O, que es perpendicular al plano de Ob, y a un momento M0 que actúa en un plano normal al plano del papel por O. Para mantener el equilibrio de la barra Ob se requieren las siguientes fuerzas y momentos en b:

Vb  F0 Mxb  yF0  M 0 cos  0 Myb  xF0  M 0 sen 0Recordando las expresiones anteriores
 b  0 xb  y0  s0 cos  0 yb  x0  s0 sen 0

Vb  F0 Mxb  yF0  M 0 cos  0 Myb  xF0  M 0 sen 0

• Existe una evidente analogía entre las expresiones geométricas y las estáticas las cuales se indican a continuación

Analogías

F0  0 Vb   b M 0  s 0 Mxb  xb Myb  yb

Conclusiones
• En virtud de lo anterior tenemos que:1. Las rotaciones pueden ser consideradas como fuerzas actuando según el eje de rotación 2. Los desplazamientos pueden ser considerados como momentos en torno al eje de desplazamiento

c. Geometría de los desplazamientos de una barra plana sujeta a deformaciones en y entre sus extremos
• En este caso la barra ab cambia a una posición a’b’ después de experimentar
a. b. Rotación Δθa,desplazamientos Δxa y Δya en el punto “a” Rotaciones dθ y desplazamientos δ (alargamientos o acortamientos) a lo largo de ella

•

Como consecuencia de esto existen desplazamientos Δxb, Δyb y rotación Δθb en el punto b

• Para evaluar las anteriores deformaciones y giros se pueden utilizar las siguientes expresiones. • En estas expresiones, los desplazamientos δ se han considerado positivos si son dealargamiento y negativos si son de acortamiento, las rotaciones dθ se consideran positivas si son de sentido contrario al de los punteros del reloj.

 b   a   d
a

b

xb  xa  ya  a   yd   ds cos 
a b a b

b

b

yb  ya  xa  a   xd   ds sin 
a a

Estática

Vb  Va   fds
a

b

M xb  M xa  yaVa   fds  y   mds cos 
a b a b

b

bM yb  M ya  xaVa   fds  x   mds sin 
a a

Comparando
 b   a   d
a b

Vb  Va   fds
a
b b

b

xb  xa  ya  a   yd   ds cos 
a b a b

M xb  M xa  yaVa   fds  y   mds cos 
a b a b

b

b

yb  ya  xa  a   xd   ds sin 
a a

M yb  M ya  xaVa   fds  x   mds sin 
a a

Es evidente la analogía

Va   a Vb  ...