Demostracion teorema de pitagoras

Demostración mediante figuras semejantes
Tomamos un triángulo rectángulo y lo dividimos en dos triángulos trazando la altura del mismo desde el vértice del (informalmente hablando, porque los trestienen la misma forma pero diferentes tamaños). ángulo recto (es decir, perpendicular desde el vértice del ángulo recto hasta el lado opuesto). Es sencillo ver que los tres triángulos son semejantesentre sí Vamos a ver la explicación que da Penrose en su libro sobre la deducción del teorema de Pitágoras a partir de dicha estructura:
Una propiedad general de las figuras planas semejantes es quesus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus correspondientes dimensiones lineales. Para cada triángulo podemos considerar que esta dimensión lineal es el lado más largo, es decir, su hipotenusa.Notemos que la hipotenusa de cada uno de los triángulos más pequeños coincide con uno de los lados (no hipotenusa) del triángulo original. Así pues, se sigue al mismo tiempo (del hecho de que el áreadel triángulo original es la suma de las áreas de los otros dos) que el cuadrado de la hipotenusa del triángulo original es realmente la suma de los cuadrados de los otros dos lados: ¡el teorema dePitágoras!

Figura 5: Los tres triángulos rectángulos de la figura (el mayor y los dos más pequeños) son semejantes.
Vamos a explicar un poco todo esto. Consideremos la figura anteriormentemencionada nombrando los lados del triángulo original como se puede ver en la Figura 5.
Llamemos  al área del triángulo original y  a las áreas correspondientes a los triángulos  y . Por tanto, .
Comodichos triángulos (los pequeños) son semejantes, tenemos que las proporciones entre el área de cada uno de ellos y el cuadrado de su hipotenusa son iguales, esto es:

Pero por las propiedades de lasfracciones, si tenemos dos fracciones iguales entonces cada una de ellas es igual a la fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores y cuyo denominador es la suma de los denominadores, esto es:...