Demostraciones De Algebra Lineal
Páginas: 8 (1861 palabras)
Publicado: 4 de mayo de 2012
DEMOSTRACIONES DE TEMAS TEORICOS DE ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA
En esta página incluimos las demostraciones de algunos temas teóricos que en ciertas ocasiones, por razones de disponibilidad de tiempo, no pueden dictarse en los cursos, pero que están incluidos en el programa analítico de la materia y que por lo tanto es necesario conocer y saber demostrar.
En la tipografía empleada,indicaremos los vectores con negrita.
Unidad VII: Espacios Vectoriales
1.- La intersección de dos subespacios es un subespacio vectorial
En primer lugar recordemos la definición de intersección de subespacios. Si S1 y S2 son dos subespacios vectoriales incluidos en un espacio vectorial V, S = S1 S2 está formado por todos los vectores u pertenecientes a V tales que u pertenece a S1 ysimultáneamente u pertenece a S2.
Para probar que efectivamente S = S1 S2 es un subespacio vectorial de V debe cumplirse:
a.- Que S no sea vacío
Esto es cierto por cuanto al ser S1 y S2 subespacios, siempre el vector nulo (0) pertenece a ambos, por lo que la intersección de S1 y S2 siempre cuenta por lo menos con un elemento: el mencionado vector nulo.
b.- Que sea cerrado para la sumaConsideremos un vector u que pertenece a S1 S2 y un vector v que pertenece a S1 S2.
Debemos probar que u + v pertenece a S1 S2.
Si u pertenece a S1 S2 entonces u pertenece a S1 y a la vez u pertenece a S2, por definición de intersección de subespacios.
Del mismo modo, si v pertenece a S1 S2 entonces v pertenece a S1 y a la vez v pertenece a S2, por similar razón.
Como S1 es unsubespacio vectorial de V, si u pertenece a S1 y v también pertenece a S1, su suma u + v pertenecerá a S1, por cuanto al ser S1 subespacio como hemos mencionado, es cerrado para la suma (1)
Análogamente, como S2 es un subespacio vectorial de V, si u pertenece a S2 y v también pertenece a S2, su suma u + v pertenecerá a S2, por cuanto al ser S2 subespacio, es cerrado para la suma (2)
Considerando loexpuesto en (1) y (2), resulta que u + v pertenece tanto a S1 como a S2, por lo que por definición de intersección, pertenece a S1 S2. Con ello probamos que es cerrado para la suma.
c.- Que sea cerrado para el producto por un escalar
Consideremos un vector u que pertenece a S1 S2 y un escalar α que pertenece al cuerpo de los números reales (R).
Debemos probar que αu pertenece a S1 S2.
Siu pertenece a S1 S2, entonces u pertenece tanto a S1 como a S2, por definición de intersección de subespacios.
Si u pertenece a S1, αu también pertenece a S1, por cuanto éste es subespacio vectorial y es cerrado para el producto por un escalar. (3)
Análogamente, si u pertenece a S2, αu también pertenece a S2, por cuanto éste también es subespacio vectorial y es cerrado para el producto por unescalar. (4)
De lo expuesto en (3) y (4) resulta que αu pertenece simultáneamente a S1 y a S2, por lo cual pertenece a S1 S2 por definición de intersección de subespacios, con lo que queda demostrado que esta operación es cerrada.
En consecuencia, al no ser un conjunto vacío y cumplir con la condición necesaria y suficiente para que un conjunto S V sea subespacio vectorial de éste, S = S1S2 es un subespacio vectorial.
2.- La suma de dos subespacios es un subespacio vectorial
Recordemos en primer lugar la definición de suma de subespacios: si S1 y S2 son dos subespacios incluidos en un espacio vectorial V, el subespacio S = S1 + S2 está formado por todos los vectores v de V tales que v = v1 + v2, con v1 perteneciente a S1 y v2 perteneciente a S2.
Para probar que S =S1 + S2 es efectivamente un subespacio vectorial de V debe cumplirse:
a.- Que S no sea vacío
Como definíamos la suma de subespacios de modo que si v pertenece a S entonces v = v1 + v2 con v1 perteneciente a S1 y v2 perteneciente a S2, al ser S1 y S2 subespacios el vector nulo 0 pertenece a ambos, por lo que dicho vector también pertenece a S, lo que demuestra que la suma de subespacios...
En esta página incluimos las demostraciones de algunos temas teóricos que en ciertas ocasiones, por razones de disponibilidad de tiempo, no pueden dictarse en los cursos, pero que están incluidos en el programa analítico de la materia y que por lo tanto es necesario conocer y saber demostrar.
En la tipografía empleada,indicaremos los vectores con negrita.
Unidad VII: Espacios Vectoriales
1.- La intersección de dos subespacios es un subespacio vectorial
En primer lugar recordemos la definición de intersección de subespacios. Si S1 y S2 son dos subespacios vectoriales incluidos en un espacio vectorial V, S = S1 S2 está formado por todos los vectores u pertenecientes a V tales que u pertenece a S1 ysimultáneamente u pertenece a S2.
Para probar que efectivamente S = S1 S2 es un subespacio vectorial de V debe cumplirse:
a.- Que S no sea vacío
Esto es cierto por cuanto al ser S1 y S2 subespacios, siempre el vector nulo (0) pertenece a ambos, por lo que la intersección de S1 y S2 siempre cuenta por lo menos con un elemento: el mencionado vector nulo.
b.- Que sea cerrado para la sumaConsideremos un vector u que pertenece a S1 S2 y un vector v que pertenece a S1 S2.
Debemos probar que u + v pertenece a S1 S2.
Si u pertenece a S1 S2 entonces u pertenece a S1 y a la vez u pertenece a S2, por definición de intersección de subespacios.
Del mismo modo, si v pertenece a S1 S2 entonces v pertenece a S1 y a la vez v pertenece a S2, por similar razón.
Como S1 es unsubespacio vectorial de V, si u pertenece a S1 y v también pertenece a S1, su suma u + v pertenecerá a S1, por cuanto al ser S1 subespacio como hemos mencionado, es cerrado para la suma (1)
Análogamente, como S2 es un subespacio vectorial de V, si u pertenece a S2 y v también pertenece a S2, su suma u + v pertenecerá a S2, por cuanto al ser S2 subespacio, es cerrado para la suma (2)
Considerando loexpuesto en (1) y (2), resulta que u + v pertenece tanto a S1 como a S2, por lo que por definición de intersección, pertenece a S1 S2. Con ello probamos que es cerrado para la suma.
c.- Que sea cerrado para el producto por un escalar
Consideremos un vector u que pertenece a S1 S2 y un escalar α que pertenece al cuerpo de los números reales (R).
Debemos probar que αu pertenece a S1 S2.
Siu pertenece a S1 S2, entonces u pertenece tanto a S1 como a S2, por definición de intersección de subespacios.
Si u pertenece a S1, αu también pertenece a S1, por cuanto éste es subespacio vectorial y es cerrado para el producto por un escalar. (3)
Análogamente, si u pertenece a S2, αu también pertenece a S2, por cuanto éste también es subespacio vectorial y es cerrado para el producto por unescalar. (4)
De lo expuesto en (3) y (4) resulta que αu pertenece simultáneamente a S1 y a S2, por lo cual pertenece a S1 S2 por definición de intersección de subespacios, con lo que queda demostrado que esta operación es cerrada.
En consecuencia, al no ser un conjunto vacío y cumplir con la condición necesaria y suficiente para que un conjunto S V sea subespacio vectorial de éste, S = S1S2 es un subespacio vectorial.
2.- La suma de dos subespacios es un subespacio vectorial
Recordemos en primer lugar la definición de suma de subespacios: si S1 y S2 son dos subespacios incluidos en un espacio vectorial V, el subespacio S = S1 + S2 está formado por todos los vectores v de V tales que v = v1 + v2, con v1 perteneciente a S1 y v2 perteneciente a S2.
Para probar que S =S1 + S2 es efectivamente un subespacio vectorial de V debe cumplirse:
a.- Que S no sea vacío
Como definíamos la suma de subespacios de modo que si v pertenece a S entonces v = v1 + v2 con v1 perteneciente a S1 y v2 perteneciente a S2, al ser S1 y S2 subespacios el vector nulo 0 pertenece a ambos, por lo que dicho vector también pertenece a S, lo que demuestra que la suma de subespacios...
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