Demostraciones del teorema de pitagoras

Podemos ver que a2 + b2 = c2 usando el Álgebra
Mira este diagrama... tiene dentro un triángulo "abc" (en realidad tiene cuatro):

Es un gran cuadrado, cada lado mide a+b, así que el área es:
A = (a+b)(a+b)
Ahora sumamos las áreas de los trozos más pequeños:
Primero, el cuadrado pequeño (inclinado) tiene área |   | A = c² |
  |   |   |
Y hay cuatro triángulos, cada uno con área |   | A=½ab |
Así que los cuatro juntos son |   | A = 4(½ab) = 2ab |
  |   |   |
Si sumamos el cuadrado inclinado y los 4 triángulos da: |   | A = c²+2ab |
El área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado y los 4 triángulos. Esto lo escribimos así:
(a+b)(a+b) = c²+2ab
Ahora, vamos a operar a ver si nos sale el teorema de Pitágoras:
Empezamos con: |   | (a+b)(a+b) = c²+2ab |  |   |   |
Desarrollamos (a+b)(a+b): |   | a²+2ab+b² = c²+2ab |
  |   |   |
Restamos "2ab" de los dos lados: |   | a²+b² = c² |

Demostración de Leonardo da Vinci

El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.
En el elenco de inteligencias que abordaron elteorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento,Leonardo da Vinci.
Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:
1. Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
2. PolígonoACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.
Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:
* De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
* Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
* A de ADGB y A de CIJA
* B de ADGB y J de CIJA
Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.
De modo análogo se comprueba laigualdad entre ADGB y CBHI.
Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.
Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos–iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Demostración de Garfield

El polígono construido por Garfield es un trapecio de bases a y b, compuesto por tres triángulosrectángulos.
James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos 5 , desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.
Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales aldado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:

como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:

igualando:

lo que finalmente nos da c2 = a2 + b2, y el teorema está demostrado.

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud delahipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:


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2. 1....