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CAPÍTULO

2
Funciones

1

2.4 Composición de funciones
Definiremos otra nueva función, la composición de g seguida de f , denotada por f ı g. El dominio de f ı g es un subconjunto del dominio de g y se expresa como Df ıg . El contradominio de f ı g es el contradominio de f . A cualquier elemento x 2 Df ıg la función f ı g le hace corresponder f Œg.x/. Así: def .f ı g/.x/ D f Œg.x/: Lafunción f ı g se denomina también como g compuesta con f .
Dg Rg Df

Cf

x

g

g.x/

f

f Œg.x/

f ıg

El dominio de esta función es Df ıg D D
1

D

x 2 Dg g.x/ 2 Df

x 2 R g.x/ 2 R & f Œg.x/ 2 R :

x 2 R .f ı g/.x/ 2 R

D

x 2 R f Œg.x/ 2 R D

x 2 R x 2 Dg & g.x/ 2 Df

D

D

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2 Ejemplo 2.4.1 Dadas las funciones p f .u/ D25

Cálculo Diferencial e Integral I

u;

g.t/ D t 2 C 9

&

h.y/ D

y

5:

1. Obtener los dominios de f , g & h. 2. Obtener .h ı g/.x/ y el dominio de h ı g. 3. Obtener .g ı h/.x/ y el dominio de g ı h. 4. Obtener .g ı f /.x/ y el dominio de g ı f . H 1. D D f Dg D Dh D D D u 2 R f .u/ 2 R t 2 R g.t/ 2 R y 2 R h.y/ 2 R y2 R y 5 0 u 2 R 25 u 0 D D D u2 R p 25

5. Obtener .f ıg/.x/ y el dominio de f ı g. 6. Obtener .h ı f /.x/ y el dominio de h ı f . 7. Obtener .f ı h/.x/ y el dominio de f ı h.

u2 R

D D RI D

t 2 R .t 2 C 9/ 2 R y2 R y2 R y y 5

u 2 R u Ä 25

D . 1; 25 I

D D

52 R

D Œ5; C1/ :

2. .h ı g/.x/ D hŒg.x/ D h.x 2 C 9/ D

.x 2 C 9/

5D

x 2 C 4: 5. 5 D

Vemos que g.x/ 2 Dh ) g.x/ 2 Œ5; C1/ ) x 2 C 9 Dhıg D D x2 R x x 2 Dg g.x/ 2Dh
2

4

D R:

D

x 2 R x2 C 9

p 3. .g ı h/.x/ D gŒh.x/ D g. x Dgıh D D x 5 x 5

p 5/ D . x D D

x 2 Dh h.x/ 2 Dg

5/2 C 9 D x 5 C 9 D x C 4I p x 5 x 52 R D 5 D Œ5; C1/ :

x2 R x

Como se puede apreciar la composición de funciones no es conmutativa. Esto es, en general .g ı h/.x/ 6D .h ı g/.x/: p 4. .g ı f /.x/ D gŒf .x/ D g. 25 Dgıf D D 2 D x Ä 25 25 x p x/ D . 25 D D 0x/2 C 9 D 25 x C 9 D 34 p x Ä 25 25 x 2 R D x D xI

x 2 Df f .x/ 2 Dg x Ä 25 x Ä 25

D . 1; 25 :

x Ä 25 25

2.4 Composición de funciones p 25 p 16

3

5. .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D f .x 2 C 9/ D Df ıg D D D 6. x 2 R x 2 Ä 16 x2 R x 2 Dg g.x/ 2 Df jx j Ä 4 D D

25 D

x 2 R x 2 C 9 Ä 25 D p p x2 R x 2 Ä 16 D x2 R p 25 4ÄxÄ4

.x 2 C 9/ D

x2

9D

x2 I

D Œ 4; 4 :

p .h ı f/.x/ D hŒf .x/ D h. 25 Dhıf D D

x/ D

x p

5I D D

25 x 2 Œ5; C1/ x 2 Df f .x/ 2 Dh D x Ä 25 p x Ä 25 25 x 5 D x Ä 25 25 x 25 D x 0 D x Ä 25 x Ä 0 D

D x Ä 25 D . 1; 0 : 7.

x2 R xÄ0

p .f ı h/.x/ D f Œh.x/ D f . x Df ıh D D x 5 x

5/ D D D

25 x x

x 2 Dh h.x/ 2 Df 5 Ä 625

p x 5I p 5 x 5 Ä 25 5 x Ä 630

D

D Œ5; 630 :

Ejercicios 2.4.1 Soluciones en la página 51. Dadas las funciones f .x/ D dominio de f ı g. p 7 p 9 x & g.x/ D j 5 8x j, obtener el dominio de f; .f ı g/.x/ y el 4 j & h.x/ D x 2 f & f ı g. h 5 : Calcular, obtener o determinar, según 5, obtener f h .x/ y

2. Dadas las funciones f .x/ D

2x, g.x/ D j 3x

.f ı g/.x/, así como los dominios de las funciones 3. Sean las funciones f .x/ D proceda: p x C 3 & g.x/ D x2

1

a. Dominios def , g, f C g & fg. b. f Œg. 3/, gŒf .6/ y el dominio de gŒf .x/. 4. Si f .x/ D x 3 C 2 & g.x/ D 2 x 1 W

a. Encuentre los dominios de f y de g. 3

4

Cálculo Diferencial e Integral I b. Dé las reglas de correspondencia así como los dominios de las siguientes funciones: g ; g ı f & f ı g. f 5. Si f .x/ D f /.x/. p 4 x & g.x/ D 1 x2 1 , obtener, reduciendo a su mínima expresión: .f g/.x/ &.g ı

En cada caso proporcionar el dominio de la función. 6. Sean: f .x/ D p xC1 & g.x/ D 1 : x2 C 1

a. Obtenga los dominios de f y de g. b. Obtenga reglas de correspondencia y dominios de las funciones f C g, f =g, f ı g, g ı f . 7. Si f .x/ D j3 4x j 4, g.x/ D p 3 2x & h.x/ D 4 x2 4 ; encontrar:

a. El dominio de f . b. Los dominios de g y de h. c. .h ı g/.x/ y el dominio de h ı g. p...
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