Derivación e integración numérica

Derivación numérica.
INTRODUCCIÓN...
Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una función que no tiene una anti derivada explícita, o cuya anti derivada tiene valores que no son fácilmente obtenibles. 
El método básico involucrado para aproximar cualquier función a su integral se conoce como cuadratura  numérica y se usa una sumatoria de la función evaluada en unintervalo. 
Los métodos de integración numérica se pueden utilizar para integrar funciones dadas, ya sea mediante una tabla o en forma analítica. Incluso en el caso en que sea posible la integración analítica, la integración numérica puede ahorra tiempo y esfuerzo si sólo se desea conocer el valor numérico de la integral.
Los métodos de integración numérica se obtienen al integrar lospolinomios de interpolación. 
Por consiguiente, las distintas fórmulas de interpolación darán por resultado distintos métodos de integración numérica. 
Los métodos que se estudiarán se refieren a las fórmulas de Newton-Cotes, que se basan en las fórmulas de interpolación con puntos de separación constantes y se deducen de integrar las fórmulas de interpolación de Newton, así como la fórmula deinterpolación de LaGrange. 
A su vez, las fórmulas de Newton-Cotes se subdividen en las de tipo cerrado y las de tipo abierto.  
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA O DERIVACIÓN NUMÉRICA.
La definición de derivada de una función f esta dada por:

Si  se sustituye por h y si además esa derivada se evalúa en ,  la expresión anterior se transforma en,

Así que, la expresión,  genera una aproximación a laderivada de la función f en x0:

Es fácil comprender que esta aproximación lleva consigo cierto error que debe considerarse y que depende del tamaño de h. La grafica siguiente presenta la diferencia entre las dos formas de obtener la derivada de una función  f en ,


INTEGRACION NUMERICA.
En los cursos de Cálculo Integral, nos enseñan como calcular una integral definida de una función continuamediante una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo:
De acuerdo a la definición del diccionario, integrar significa "unir todas las partes en un todo"; unificar; indicar la cantidad total, suma total...".
Matemáticamente, la integración se representa por:

La cual representa a la integral de la función f(x) con respecto a la variable x, evaluada entre los límites x=a y x=b.
Como losugiere la definición del diccionario, el "significado" de la ecuación es el valor total o sumatoria de f(x)dx sobre el intervalo desde  x=a hasta b.
En realidad, el símbolo  es una S mayúscula estilizada que indica la conexión cercana entre la integración y la sumatoria.
Para las funciones que se encuentran sobre el eje x, la integral que se expresa corresponde al área bajo la curva.


En lamayoría de las ocasiones los métodos numéricos para integración, al realizar un análisis se empieza con un planteamiento desde una perspectiva gráfica.
Un planteamiento con sentido común es el de dividir el área en segmentos verticales, o bandas, con una altura igual al valor de la función en el punto medio de cada banda.


El área de los rectángulos se calcula y se suman para estimar el áreatotal.
En este planteamiento, se supone que el valor de los puntos medios proporciona una aproximación válida de la altura promedio de la función en cada banda, es posible obtener una estimación mejor, usando más (y delgadas) bandas para aproximar la integral.


Las reglas del trapecio y las dos reglas de Simpson pertenecen al tipo cerrado.

Regla del trapecio:
Esta regla es un método deintegración numérica que se obtiene al integrar el polinomio de interpolación de primer grado (Lineal). Para obtener una buena precisión se necesita un gran número de subintervalos.

Regla de 1/3 de Simpson:
Esta regla se basa en la interpolación polinomial cuadrática (de segundo orden). Obteniendo el polinomio de Newton ajustado a tres puntos  e integrando el resultado se tiene la regla...