Derivaciones

b) REGLAS DE IMPLICACIÓN

1. Modus Ponendo Ponens: “si se afirma el antecedente de una premisa condicional, se concluye la afirmación del consecuente de dicha premisa”
Se simboliza:

A → B
A
B
Ejemplo:
Si Juanita emplea más horas estudiando el curso de lógica, entonces aprueba el curso. Juanitaemplea más horas estudiando el curso de lógica. Por lo tanto, Juanita aprueba el curso de Lógica.

2. Modus Tollendo Tollens: “si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye la negación del antecedente de dicha premisa.”

Se simboliza:
A → B
~B
~A

Ejemplo:
Si Ernestinadefiende su propiedad, entonces el ex hacendado no se lo quita. El ex hacendado se lo quita. Por lo tanto, Ernestina no defiende su propiedad.

10. Silogismo disyuntivo: “si se niega uno de los componentes de una premisa disyuntiva, se concluye la afirmación de otro componente”

Se simboliza:

A ۷ B
~ A
B

A ۷ B
~ B
A

11. Simplificación: “de una premisa conjuntiva se puedeconcluir cualquiera de sus componentes”

Se simboliza:
A ۸ B
A

A ۸ B
B

12. Adición: “de una premisa se puede concluir la disyunción de la misma con cualquier otra fórmula”

Formalmente tenemos:

A
A ۷ B

B
A ۷ B

13. Conjunción: “de un conjunto de premisas se puede concluir la conjunción de las mismas”
Formalmente tenemos:

A
B
A ۸ B

A
B
B ۸ A14. Silogismo hipotético Puro: “Si de un conjunto de dos premisas condicionales el consecuente de una de las premisas es la afirmación del antecedente de la otra premisa, entonces del antecedente de una de las premisas se deriva el consecuente de la otra premisa.”

Formalmente:

A → B
B → C
A → C

B → C
A → B
A → C

15. Transitividad simétrica: Si de un conjuntode dos premisas bicondicionales uno de los componentes de una premisa bicondicional es la afirmación de uno de los componentes de la otra premisa, entonces el otro componente de la primera premisa se da si y sólo si se da el otro componente de la segunda premisa bicondicional.

Formalmente tenemos:

A ↔ B
B ↔ C
A ↔ C

B ↔ C
A ↔ B
A ↔ C

A ↔ B
A ↔ C
B ↔ C

9. Dilema ConstructivoCompuesto: “de la disyunción de los antecedentes de dos premisas condicionales se concluye la disyunción de los consecuentes de dichas premisas condicionales.”

A → B
C → D
A ۷ C
B ۷ D

10. Dilema Destructivo Compuesto: “Si disyuntivamente negamos los consecuentes de dos premisas condicionales, se concluye disyuntivamente la negación de los antecedentes”

Esquemáticamente se tiene:

A →B
C → D
~B ۷ ~D
~A ۷ ~C

c) Reglas de equivalencia

Observemos la derivación de algunas reglas a partir de tablas de verdad:

1. Definición del condicional, la implicación (Imp)
p, q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V


p → q = Def. F( V(p) ۸ F(q) )

1.1 A → B = ~ (A ۸ ~B)

1.2 A → B = ~ A ۷ B

1.3 La transposición:
A →B = ~ B → ~ A

1.1 A → B = ~ (A ۸ ~B)

1.2 A → B = ~ A ۷ B

1.3 La transposición:
A → B = ~ B → ~ A

2. La equivalencia (Eq.)

p, q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V

p ↔ q = Def. V ( ( V(p) ۸ V(q) ) ۷ ( F(p) ۸ F(q) ) )

p ↔ q = Def. F ( ( V(p) ۸ F(q) ) ۷ ( F(p) ۸ V(q) ) )
2.1 (A ↔ B) = ~ ( (A ۸ ~ B) ۷ (~ A ۸ B))
(A ↔ B) = ~ ( A ۸ ~ B) ۸ ~ (~ A ۸ B) ) D.Morgan
(A ↔ B) = (~ A ۷ B) ۸ ( A ۷ ~ B) ) D.Morgan
(A ↔ B) = (A → B) ۸ (B → A) Imp.

2.2 (A ↔ B) = (A ۸ B) ۷ (~ A ۸ ~ B)

2.3 La transposición
(A ↔ B) = (~ B ↔ ~ A)

2.1 (A ↔ B) = ~ ( (A ۸ ~ B) ۷ (~ A ۸ B) )
(A ↔ B) = ~ ( A ۸ ~ B) ۸ ~ (~ A ۸ B) )...