Derivada De Una Funcion

CÁLCULO VECTORIAL

CURVAS EN R2 Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

2.4 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DADA PARAMÉTRICAMENTE Si una curva C esta dado por la ecuación paramétrica y , entonces la derivada y por lotanto la pendiente de la recta tangente en es:

1

Como

es función de t, puede emplearse el teorema anterior para hallar

las derivadas de orden superior: (Segunda Derivada)

(TerceraDerivada)

EJEMPLOS Para la curva dada por: y Hallar la pendiente y la concavidad en el punto (2,3). Para hallar la pendiente de la curva debemos derivar:

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Reduciendo se tiene:
2

Para hallar la pendiente en el punto (2,3), tenemos que hallar el valor de t, ya sea que partamos dex o de y (la que sea más sencilla), en este caso utilizaremos:

Si sabemos que el valor de x es de 2, entonces debemos sustituirlo en la ecuación anterior:

Dado que por definición sabemos que laderivada es la pendiente de una recta tangente a un punto de la curva, tenemos:

Para determinar si la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo, utilizaremos el criterio de la segunda derivada:Realizado por: Aurora Guadalupe Alfonzo Santiago.

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3

Y dado que

, tenemos que:

Por lo que puede concluirse que la curva escóncava hacia arriba.

Para la curva dada por: y Hallar la pendiente y la concavidad cuando Derivando: .

Aplicando el criterio de la segunda derivada:

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Sustituyendo el valor de :
4

Por lo que la curva es cóncava hacia arriba.

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BIBLIOGRAFÍA
Cálculo II de Varias Variables LARSON, Ron HOSTETLER, Robert EDWARDS, Bruce 8ª Edición Editorial McGraw Hill...