Derivada

Aplicaciones de la derivada

Monotonía (crecimiento y decrecimiento de una función)

En una función se puede analizar su crecimiento o decrecimiento al mirar la variación que experimentan las imágenes, cuando aumentan o disminuyen los valores del dominio.
Una función, definida en un intervalo determinado, es creciente en este intervalo, si para todo x1,x2 ,tales que, x1< x2, secumple que f(x1) < f(x2).

Una función, definida en un intervalo determinado, es decreciente en este intervalo, si para todo para x1 y x2 y tales que x1<x2 , se cumple que g(x1)>g(x2).

CRITERIO: DE CRECIMIENTO DE UNA FUNCION

La derivada de una función nos proporciona un criterio certero y fácil de utilizar, para determinar en qué intervalos una función es creciente yen qué intervalos es decreciente:
i. Si la pendiente de la tangente a la curva en un punto c, es positiva (f´(c)>0), entonces la función es creciente en dicho punto.
ii. Si la pendiente de la tangente es negativa (f´(c)<0) entonces la función es decreciente.
iii. Si la pendiente de la recta tangente es igual a cero (f´(c)=0), la función no crece ni decrece.


Teorema:Teorema de monotonía
Sea f continua en el intervalo I y derivable en todo punto interior de I.
i. Si f’(x)>0 para toda x interior a I, entonces f es creciente en I.
ii. Si f`(x)<0 para toda x interior a I, entonces f es decreciente en I.
Por lo regular este teorema nos permite determinar con presionen donde una función derivable es creciente y en dónde es decreciente. Escuestión de resolver dos desigualdades.
Ejemplo 1. Si f(x)= 2x3_ 3x2 _ 12x+7, encuentre en dónde f es creciente y en dónde es decreciente.

Solución: empezamos por encontrar la derivada de f,
f`(x)= 6x2- 6x-12= 6(x+1) (x-2)

Necesitamos determinar en dónde
(x+1)(x-2)>0
Y también en dónde
(x+1)(x-2)<0

Ejemplo 2 determine en dónde g(x)=x/(1+x2) es creciente y en donde es decreciente.Solución: (1+x2)-x(2x) = 1- x2 = (1-x) (1+x)
(1+x2)2 (1+x2)2 (1+x2)2
Como el denominador siempre es positivo, g`(x) tiene el mismo signo que el numerador (1-x)(1+x). Los puntos de separación, -1 y 1, determina tres intervalos (--1), (-1,1), (1,). Cuando lo probamos, encontramos que g´(x)<0 en el primero y en el ultimo de estos intervalos y queg`(x)>0 en el intervalo de en medio. Con base en el teorema A, concluimos que g es decreciente en (--1), y en (1,) y que es creciente en (-1,1).

Máximos y mínimos:
Supóngase que S, el dominio de f, contiene el punto c. Decimos que:
i. f(c) es el valor máximo de f en S, si f(c) ≥ f(x) para toda x en S;
ii. f(c) es el valor mínimo de f en S, si f(c) ≤ f(x) para toda x en S;iii. f(c) es un valor extremo de f en S, si es un valor máximo o un valor mínimo;
iv. la función que queremos maximizar o minimizar es la función objetivo.
Teorema A: teorema de existencia de máximo y mínimo.
Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b],entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo.
Teorema B: teorema de los puntos críticos.
Sea fdefinida en un intervalo I que contiene al punto c. Si f (c) es un valor extremo, entonces c debe ser un punto crítico; es decir, c es alguno de los siguientes:
i. un punto frontera de I
ii. Un punto estacionario de f ; es decir, un punto en donde f´(c) =0; o
iii. Un punto singular de f ; esto es, un punto en donde f´(c) no existe.

Decimos que f(c) es un máximo relativo de unafunción f si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≤ f(c), x (c – ε, c + ε).

Decimos que f(c) es un mínimo relativo de una función f si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≥ f(c), x (c – ε, c + ε).
Concavidad:
Sea f definida en un intervalo I (abierto, cerrado o ninguno...