Derivadas de funciones simples

REPUBLICA DE VENEZUELA

MATEMÁTICAS II
EJERCICIOS: TEMA 1

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL ROMULO GALLEGOS (UNERG)

SAN JUAN DE LOS MORROS EDO. GUARICO

EJERCICIOS: APLICANDO LA DEFINICIÓN DE LA DERIVADA.
1

Calcular la derivada por definición de la función

f ( x ) = 3x + 5

en el punto x = 1

Resolución: Se pide el valor de f' (1)

f ' (1) =

f (1 + h ) = 3h + 8 3h + 8− 8 f ' (1) = lim h→ 0 h
f ' (1) =
lim h→ 0

f (1 + h ) = 3(1 + h ) + 5 = 3 + 3h + 5

f (1) = 3(1) + 5 = 8

lim h→ 0

f (1+ h ) − f (1) h

3h =3 h

La derivada de una función evaluada en un punto me da un número

2

2 Calcular la derivada por definición de la función f ( x ) = 2x + 2x + 3

con

x0 = x

Solución:

f ' ( x) =

lim h→ 0

f ( x + h) − f ( x) h
2

f ( x) = 2x 2 + 2x + 3
f ( x + h ) = 2( x + h ) + 2( x + h ) + 3

f ( x + h ) = 2 x 2 + 2xh + h 2 + 2x + 2h + 3

(

)

f ( x + h ) = 2x 2 + 4xh + 2h 2 + 2x + 2h + 3

2x 2 + 4xh + 2h 2 + 2x + 2h + 3 − 2x 2 − 2x − 3 f ' ( x ) = lim h→ 0 h 2 4xh + 2h + 2h f ' ( x ) = lim h→ 0 h

f ' ( x) =

lim h→ 0

4x + 2h + 2
La derivada de una función da como resultado otra función

f ' ( x) = 4x +2

3

Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva f aplicando la definición de la derivada.

(x) =

x 3 en el punto x = 2,

Solución:

f ' ( 2) =
3

lim h→ 0

f ( 2 + h ) − f ( 2) h

f ( 2) = ( 2) = 8 f ( 2 + h) = ( 2 + h)
3

( a ± b) 3 = a 3

± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3
3

Nota

f ( 2 + h) = ( 2 + h)

f ( 2 + h ) = 8 + 3.4.h + 3.2.h 2 + h 3

f (2) = (2) = 83

f ( 2 + h ) = 8 + 12h + 6h 2 + h 3

8 + 12h + 6h 2 + h 3 − 8 f ' ( 2) = lim h→ 0 h
12h + 6h 2 + h 3 f' ( 2 ) = lim h→ 0 h

h(12 + 6h + h 2 ) f' ( 2 ) = lim h→ 0 h

f' ( 2 ) =

lim h→ 0

12 + 6h + h 2
mtg

f ' ( 2 ) = 12

y

= 1

2 x

− 3 2

Calculo de la recta tangente:

x = 2 f ( x) = x 3
f (2 ) = (2 ) = 8
3

punto = (2 , 8)

m = 12

EcuaciónPunto-Pendiente

y − y1 = m( x − x1 )

y − 8 = 12( x − 2 ) y − 8 = 12 x − 24
Ecuación de una recta:

y = mx + b
y = 12 x − 24 + 8

y = 12 x − 16

4

Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva

f ( x) = x −

1 x

en el punto x = 1.

Solución:

f' (1) =

lim h→ 0

f (1+ h ) − f (1) h

f (1) = 1 −

1 =0 1

f (1 + h ) = (1 + h ) −

1 1+ h

(1 + h ) 2 − 1 f (1+ h )=
1+ h

1 + 2h + h 2 − 1 f (1 + h ) = 1+ h
2h + h 2 f (1 + h ) = 1+ h

2h + h 2 − 0 1+ h f ' (1) = lim h→ 0 h

2h + h f ' (1) = lim 2 h→ 0 h+h
f ' ( x) = h( 2 + h ) h(1 + h )

2

f ' (1) =

lim h→ 0

2+h =2 1+ h

f ' (1) = 2

5

Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva f ( x ) = 4x + 7x en el punto x = -1 aplicando
2

la definición de la derivada.Solución:

f ' ( - 1) = lim
h→ 0

f ( − 1 + h ) − f ( − 1) h
2

f ( − 1) = 4( − 1) + 7( − 1) = 4 − 7 = − 3 f ( − 1+ h ) = 4( − 1+ h ) + 7( − 1+ h )
2

f ( − 1 + h ) = 4 1 − 2h + h 2 − 7 + 7h
f ( − 1 + h ) = 4 − 8h + 4h 2 − 7 + 7h

(

)

f ( − 1 + h ) = − 3 − h + 4h 2

(− 3 − f ' ( - 1) = lim
h→ 0

h + 4h 2 ) − ( − 3) h

− 3 − h + 4h 2 + 3 f ' ( - 1) = lim h→ 0 h

4h 2 − h f ' (- 1) = lim h→ 0 h
f ' ( - 1) = lim
h→ 0

h( 4h − 1) h

f ' ( - 1) = lim 4h − 1 = − 1
h→ 0

f ' ( − 1) = − 1 x= − 1 f ( − 1) = − 3

mtg

calculo de la recta:
y − y1 = m( x − x1 )

y + 3 = − 1( x + 1)
y + 3= − x − 1

y = −x − 1 − 3

EJERCICIOS: DERIVADAS DE FUNCIONES SIMPLES

1

f ( x ) = π + x + 2π 2

Solución:

f ' ( x) =

( π ) ' + ( x ) ' + ( 2π ) '
2

f ' ( x)= 0 +1+ 0

f ' ( x) = 1

Respuesta

2

f ( x) = π 2 + π 2 x

Solución:

f ' ( x) = 0 + π 2

3

f ( x ) = 5x + 2

Solución:

f ' ( x ) = ( 5x ) ' + ( 2 ) '

f ' ( x) = 5

4

f ( x) = x2 −

3 +1 x

Solución:

f ' ( x) = 2x +

3 x2

5

f ( x ) = x 3 + 5x 2 − 8x + 5

Solución:

f ' ( x ) = 3 x 2 + 10 x − 8

6

f ( x) =

x

Solución:
Por...