Derivadas De Segundo Orden

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Si tenemos z = f ( x , y ) , sabemos que las derivadas parciales de la función respecto de las dos variables independientes son, en general, funciones a su vezde las mismas variables. Esto es:

∂z = f x ( x, y) ∂x ∂z = f y ( x, y) ∂y
Siendo las derivadas parciales funciones de las mismas variables, estas funciones pueden derivarse nuevamente respecto dex y de y y les llamamos derivadas parciales de segundo orden. Hay que hacer notar que ahora tendremos que la primera derivada parcial respecto de x puede ser derivada parcialmente respecto de x ytambién respecto de y . De igual manera, la primera derivada parcial respecto de y , puede ser derivada parcialmente respecto a esa misma variable y también respecto de

x . De manera que las segundasderivadas, o derivadas de segundo orden, pueden ser
estas cuatro derivadas parciales:

∂2z = fxx ∂x 2 ∂ 2z = fyy ∂y 2 ∂2z = fx y ∂x∂y ∂2z = fyx ∂y∂x

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Puesto que estas cuatro derivadasparciales segundas pueden ser funciones de x y de y , es claro que pueden derivarse nuevamente para obtener las derivadas de tercer orden y así sucesivamente hasta el orden n..

Orden de la derivaciónparcial

Resulta natural la pregunta acerca de si el orden en que realizamos la derivación afecta un resultado. Supongamos que derivamos z = f ( x , y ) respecto de x y luego derivamos el resultadorespecto de y , para obtener la derivada “cruzada” f xy . Ahora supongamos que derivamos z = f ( x , y ) respecto de y y a esta derivada la volvemos a derivar respecto de x para obtener f yx ¿Quépodemos decir acerca de la relación entre f xy y f yx ?

Teorema de Young El teorema de Young afirma que si z = f ( x , y ) y f es continua en un punto P (x,y) y las derivadas parciales f x , f y , f xy ,f yx están definidas y son continuas en el punto P y en cierta vecindad de este punto, entonces se cumple que:

f xy = f yx
Nota: En la gran mayoría de ls funciones que se usan en economía se...