Derivadas Parciales De 2Do Orden

DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Las derivadas parciales pueden ser derivables a su vez. Las funciones resultantes se llaman derivadas parciales de segundo orden, una notación comúnmenteutiliza es la siguiente:

Si , la derivada parcial de respecto a x se representa por
o bien por ; es decir

y la derivada parcial de con respecto a la variable y se representa por

o bienpor ;
La notación que se emplea para representar las derivadas parciales de con respecto a la variable x y viceversa es similar a la anterior.

Ejercicio 1.
Calcule las cuatro derivadas parcialesde segundo orden de la función

Solución

Primeramente necesitamos obtener la derivada parcial

Por lo tanto obtendremos:

Una vez realizada la derivada parcial de z con respecto a lavariable x, podemos obtener la derivada de segundo orden para la función, es decir, necesitamos obtener

como se trata de la derivada de constantes

Como ya tenemos la derivada de , podemos ahoraencontrar la derivada de ésta con respecto a la variable y, es decir

Resolviendo la derivación obtenemos que , realizando las

operaciones:

Una vez encontradas las derivadas con respecto a lavariable x, realizaremos las derivadas parciales con respecto a y.
, realizando la derivada obtenemos , realizando las operaciones para simplificar obtenemos:

Ahora obtenemos la derivada parcialde segundo orden de con respecto a la variable y, es decir, , realizando la derivación obtenemos:
, realizando las operaciones para simplificar, tenemos que:


Finalmente obtenemos la derivadade con respecto a la variable x, de esta forma, será: , realizando las operaciones para simplificar obtenemos:




Con esta última derivación encontramos ya las cuatro derivadas parciales desegundo orden que nos pide el ejercicio (funciones dentro del recuadro).

Como podemos observar las derivadas y , que en muchas ocasiones se les llama derivadas parciales cruzadas de segundo orden...